Введение

Лоренцианский многообраз с исчезающим тензором Эйнштейна

В общей теории относительности вакуумное решение — это лоренцианский многообраз, тензор Эйнштейна которого тождественно равен нулю. Согласно уравнению поля Эйнштейна, это означает, что тензор энергии-импульса также тождественно равен нулю, следовательно, в нём отсутствует материя и негравитационные поля. Вакуумные решения отличаются от электровакуумных решений, которые учитывают электромагнитное поле в дополнение к гравитационному. Вакуумные решения также отличаются от ламбдавакуумных решений, в которых единственным членом тензора энергии-импульса является космологическая постоянная (и, таким образом, ламбдавакуумы можно рассматривать как космологические модели). В более общем смысле, вакуумная область в лоренцианском многообразии — это область, в которой тензор Эйнштейна равен нулю. Вакуумные решения являются частным случаем более общих точных решений в общей теории относительности.

Равноценные условия

Это математический факт, что тензор Эйнштейна обращается в ноль тогда и только тогда, когда тензор Риччи обращается в ноль. Это следует из того, что эти два тензора второго ранга находятся в своего рода двойственном отношении; они являются обращением следов друг друга:

где следы –
Третье эквивалентное условие вытекает из разложения Риччи тензора кривизны Римана на сумму тензора кривизны Вейля и членов, построенных из тензора Риччи: тензоры Вейля и Римана совпадают, , в некоторой области тогда и только тогда, когда это вакуумная область.

Гравитационная энергия

Поскольку в области вакуума может показаться, что согласно общей теории относительности, области вакуума не должны содержать энергии. Но гравитационное поле способно совершать работу, поэтому следует ожидать, что само гравитационное поле обладает энергией, и это действительно так. Однако, в силу самой природы общей теории относительности, с её четким разделением на универсальное гравитационное взаимодействие и "всё остальное", определение точного местоположения этой энергии гравитационного поля представляет собой техническую проблему. Тот факт, что гравитационное поле само обладает энергией, позволяет понять нелинейность уравнения поля Эйнштейна: эта энергия гравитационного поля сама создает дополнительную гравитацию. (Это описывается как "гравитация гравитации" или говорят, что "гравитация гравитирует".) Это означает, что гравитационное поле вне Солнца, согласно общей теории относительности, немного сильнее, чем согласно теории Ньютона.