Введение
Тип физической величины
В физике и математике псевдотензор обычно представляет собой величину, которая преобразуется как тензор при координатном преобразовании, сохраняющем ориентацию (например, при собственном вращении), но дополнительно меняет знак при координатном преобразовании, меняющем ориентацию (например, при несобственном вращении), которое можно представить как собственное вращение, за которым следует отражение. Это обобщение псевдовектора. Для определения знака тензора или псевдотензора необходимо свернуть его с векторами, число которых равно рангу тензора, принадлежащими пространству, в котором выполняется вращение, при этом координаты тензора остаются неизменными (в отличие от случая смены базиса). При несобственном вращении псевдотензор и тензор одного и того же ранга будут иметь разные знаки, зависящие от того, является ли ранг четным или нечетным. Иногда инверсия осей используется в качестве примера несобственного вращения для демонстрации поведения псевдотензора, но это работает только в том случае, если размерность векторного пространства нечетна, иначе инверсия является собственным вращением без дополнительного отражения. Существует второе значение псевдотензора (и, аналогично, псевдовектора), ограниченное общей теорией относительности. Тензоры подчиняются строгим законам преобразования, но псевдотензоры в этом смысле не имеют таких ограничений. Следовательно, форма псевдотензора, как правило, изменяется при изменении системы отсчета. Уравнение, содержащее псевдотензоры и справедливое в одной системе отсчета, не обязательно будет справедливо в другой. Это ограничивает значимость псевдотензоров, поскольку уравнения, в которых они появляются, не являются инвариантными по форме.
In physics and mathematics, a pseudotensor is usually a quantity that transforms like a tensor under an orientation preserving coordinate transformation (e. g. a proper rotation) but additionally changes sign under an orientation reversing coordinate transformation (e. g., an improper rotation), which is a transformation that can be expressed as a proper rotation followed by reflection. This is a generalization of a pseudovector. To evaluate a tensor or pseudotensor sign, it has to be contracted with some vectors, as many as its rank is, belonging to the space where the rotation is made while keeping the tensor coordinates unaffected (differently from what one does in the case of a base change). Under improper rotation a pseudotensor and a proper tensor of the same rank will have different sign which depends on the rank being even or odd. Sometimes inversion of the axes is used as an example of an improper rotation to see the behaviour of a pseudotensor, but it works only if vector space dimensions is odd otherwise inversion is a proper rotation without an additional reflection. There is a second meaning for pseudotensor (and likewise for pseudovector), restricted to general relativity. Tensors obey strict transformation laws, but pseudotensors in this sense are not so constrained. Consequently, the form of a pseudotensor will, in general, change as the frame of reference is altered. An equation containing pseudotensors which holds in one frame will not necessarily hold in a different frame. This makes pseudotensors of limited relevance because equations in which they appear are not invariant in form.
Примеры
На неориентируемых многообразиях нельзя глобально определить объёмную форму из-за неориентируемости, но можно определить элемент объёма, который формально является плотностью и также может называться псевдо-объёмной формой из-за дополнительного изменения знака (тензорирования с пучком знаков). Элемент объёма является псевдотензорной плотностью согласно первому определению. Изменение переменных в многомерном интегрировании может быть осуществлено посредством включения множителя, равного абсолютному значению определителя матрицы Якоби. Использование абсолютного значения вводит изменение знака для несобственных координатных преобразований, чтобы компенсировать принятое соглашение о сохранении положительности элемента интегрирования (объёма); таким образом, подынтегральное выражение является примером псевдотензорной плотности согласно первому определению. Символы Кристоффеля аффинной связности на многообразии можно рассматривать как поправочные члены к частным производным координатного представления векторного поля по координатам, чтобы получить его ковариантную производную. Хотя сама аффинная связность не зависит от выбора координат, её символы Кристоффеля зависят, что делает их псевдотензорной величиной согласно второму определению.