Банки фильтров в цифровой обработке сигналов

Введение

Инструмент для цифровой обработки сигналов

В обработке сигналов банк фильтров (или filterbank) представляет собой набор полосно-пропускных фильтров, разделяющих входной сигнал на несколько компонентов, каждый из которых содержит поддиапазон исходного сигнала. Одним из применений банка фильтров является графический эквалайзер, который может по-разному ослаблять компоненты и рекомбинировать их в модифицированную версию исходного сигнала. Процесс разложения, выполняемый банком фильтров, называется анализом (то есть анализом сигнала с точки зрения его компонентов в каждом поддиапазоне); результат анализа называется поддиапазонным сигналом, количество поддиапазонов в котором соответствует количеству фильтров в банке фильтров. Процесс реконструкции называется синтезом, что означает восстановление полного сигнала, полученного в результате фильтрации. В цифровой обработке сигналов термин "банк фильтров" также часто применяется к набору приемников. Отличие заключается в том, что приемники также понижают частоту поддиапазонов до низкой центральной частоты, которую можно передискретизировать с пониженной скоростью. Аналогичный результат иногда можно получить путем пониженной дискретизации полосно-пропускных поддиапазонов. Другим применением банков фильтров является сжатие сигнала, когда некоторые частоты более важны, чем другие. После разложения важные частоты можно кодировать с высоким разрешением. Небольшие различия на этих частотах существенны, и необходимо использовать схему кодирования, сохраняющую эти различия. С другой стороны, менее важные частоты не обязательно должны быть точными. Можно использовать более грубую схему кодирования, хотя при этом часть более мелких (но менее важных) деталей может быть потеряна при кодировании. Вокодер использует банк фильтров для определения амплитудной информации поддиапазонов модулирующего сигнала (например, голоса) и использует ее для управления амплитудой поддиапазонов несущего сигнала (например, выхода гитары или синтезатора), тем самым накладывая динамические характеристики модулятора на несущий сигнал. Некоторые банки фильтров работают почти полностью во временной области, используя серию фильтров, таких как квадратурные зеркальные фильтры или алгоритм Герцеля, для разделения сигнала на более узкие полосы. Другие банки фильтров используют быстрое преобразование Фурье (FFT).

In signal processing, a filter bank (or filterbank) is an array of bandpass filters that separates the input signal into multiple components, each one carrying a sub band of the original signal. One application of a filter bank is a graphic equalizer, which can attenuate the components differently and recombine them into a modified version of the original signal. The process of decomposition performed by the filter bank is called analysis (meaning analysis of the signal in terms of its components in each sub band); the output of analysis is referred to as a subband signal with as many subbands as there are filters in the filter bank. The reconstruction process is called synthesis, meaning reconstitution of a complete signal resulting from the filtering process. In digital signal processing, the term filter bank is also commonly applied to a bank of receivers. The difference is that receivers also down convert the subbands to a low center frequency that can be re sampled at a reduced rate. The same result can sometimes be achieved by undersampling the bandpass subbands. Another application of filter banks is signal compression when some frequencies are more important than others. After decomposition, the important frequencies can be coded with a fine resolution. Small differences at these frequencies are significant and a coding scheme that preserves these differences must be used. On the other hand, less important frequencies do not have to be exact. A coarser coding scheme can be used, even though some of the finer (but less important) details will be lost in the coding. The vocoder uses a filter bank to determine the amplitude information of the subbands of a modulator signal (such as a voice) and uses them to control the amplitude of the subbands of a carrier signal (such as the output of a guitar or synthesizer), thus imposing the dynamic characteristics of the modulator on the carrier. Some filter banks work almost entirely in the time domain, using a series of filters such as quadrature mirror filters or the Goertzel algorithm to divide the signal into smaller bands. Other filter banks use a fast Fourier transform (FFT).

Банки фильтров FFT

Банк приемников может быть создан путем выполнения последовательности БПФ (FFT) на перекрывающихся сегментах потока входных данных. Функция взвешивания (также известная как оконная функция) применяется к каждому сегменту для управления формой частотных характеристик фильтров. Чем шире форма, тем чаще необходимо выполнять БПФ для удовлетворения критериям отсчета Найквиста. Термин "фильтр" подразумевает, что он сохраняет информацию в пределах своей полосы пропускания и подавляет информацию (или шум) за ее пределами. Если частота БПФ недостаточна для этого, конструкция обычно называется спектроанализатором. И в этом случае перекрытие сегментов не обязательно. Для фиксированной длины сегмента степень перекрытия определяет, как часто выполняются БПФ (и наоборот). Кроме того, чем шире форма фильтров, тем меньше фильтров требуется для охвата входной полосы пропускания. Устранение ненужных фильтров (т.е. частотное понижение дискретизации) эффективно достигается путем обработки каждого взвешенного сегмента как последовательности меньших блоков, при этом БПФ выполняется только для суммы блоков. Это известно как метод WOLA (weight overlap-add) и взвешенное предварительное суммирование БПФ. (см. ) Особый случай возникает, когда по конструкции длина блоков является целым кратным интервалу между БПФ. Тогда банк фильтров БПФ может быть описан в терминах одной или нескольких многофазных фильтров, где фазы рекомбинируются с помощью БПФ вместо простого суммирования. Количество блоков на сегмент соответствует длине (или глубине) импульсной характеристики каждого фильтра. Вычислительная эффективность БПФ и многофазных структур на обычном процессоре идентична. Синтез (т.е. рекомбинация выходов нескольких приемников) по сути заключается в повышении частоты дискретизации каждого из них со скоростью, соразмерной общей полосе пропускания, которая должна быть создана, переносе каждого канала на его новую центральную частоту и суммировании потоков отсчетов. В этом контексте интерполяционный фильтр, связанный с повышением частоты дискретизации, называется синтезирующим фильтром. Результирующая частотная характеристика каждого канала является произведением частотной характеристики синтезирующего фильтра и частотной характеристики фильтра банка (анализирующего фильтра). В идеале частотные характеристики соседних каналов суммируются до постоянного значения на каждой частоте между центральными частотами каналов. Это условие известно как "совершенная реконструкция".

A bank of receivers can be created by performing a sequence of FFTs on overlapping segments of the input data stream. A weighting function (aka window function) is applied to each segment to control the shape of the frequency responses of the filters. The wider the shape, the more often the FFTs have to be done to satisfy the Nyquist sampling criteria. The term filter implies that it preserves the information within its passband, and suppresses the information (or noise) outside the passband. When the FFT rate is not sufficient for that, the design is typically called spectrum analyzer. And in that case, it is not necessary for the segments to overlap. For a fixed segment length, the amount of overlap determines how often the FFTs are done (and vice versa). Also, the wider the shape of the filters, the fewer filters that are needed to span the input bandwidth. Eliminating unnecessary filters (i. e. decimation in frequency) is efficiently done by treating each weighted segment as a sequence of smaller blocks, and the FFT is performed on only the sum of the blocks. This has been referred to as weight overlap add (WOLA) and weighted pre sum FFT. (see )

A special case occurs when, by design, the length of the blocks is an integer multiple of the interval between FFTs. Then the FFT filter bank can be described in terms of one or more polyphase filter structures where the phases are recombined by an FFT instead of a simple summation. The number of blocks per segment is the impulse response length (or depth) of each filter. The computational efficiencies of the FFT and polyphase structures, on a general purpose processor, are identical. Synthesis (i. e. recombining the outputs of multiple receivers) is basically a matter of upsampling each one at a rate commensurate with the total bandwidth to be created, translating each channel to its new center frequency, and summing the streams of samples. In that context, the interpolation filter associated with upsampling is called synthesis filter. The net frequency response of each channel is the product of the synthesis filter with the frequency response of the filter bank (analysis filter). Ideally, the frequency responses of adjacent channels sum to a constant value at every frequency between the channel centers. That condition is known as perfect reconstruction.

Банки фильтров как распределение временичастоты

В обработке сигналов во временной и частотной областях банк фильтров представляет собой специальное квадратичное распределение времени и частоты (TFD), отображающее сигнал в совместном временном и частотном представлении. Он связан с распределением Вигнера-Виля посредством двумерной фильтрации, определяющей класс квадратичных (или билинейных) распределений времени и частоты. Банк фильтров и спектрограмма – два простейших способа получения квадратичного TFD; они по сути схожи, поскольку один (спектрограмма) получается путем разделения временной области на отрезки и последующего применения преобразования Фурье, а другой (банк фильтров) – путем разделения частотной области на отрезки, формирующие полосно-пропускающие фильтры, которые возбуждаются анализируемым сигналом.

Банка фильтров с несколькими скоростями

Многоскоростной фильтр делит сигнал на несколько поддиапазонов, которые могут анализироваться с разными скоростями, соответствующими полосе пропускания частотных диапазонов. В реализации используются понижающая дискретизация (децимация) и повышающая дискретизация (интерполяция). См. и для получения дополнительной информации о влиянии этих операций в преобразованных областях.

Статистически оптимизированный банк фильтров (банк фильтров Eigen)

Фреймворк дискретного банка фильтров позволяет включать в конструкцию, помимо традиционного свойства идеальной реконструкции, желаемые характеристики, зависящие от входного сигнала. Информационно-теоретические характеристики, такие как максимальная концентрация энергии, идеальная декорреляция сигналов поддиапазонов и другие свойства, соответствующие заданной ковариационной/корреляционной структуре входного сигнала, учитываются при проектировании оптимальных банков фильтров. Эти банки фильтров аналогичны зависящему от сигнала преобразованию Кархунена — Лоева (KLT), которое является оптимальным блочным преобразованием, где длина L базисных функций (фильтров) и размерность подпространства M совпадают.

Многомерная конструкция фильтра

К настоящему времени 1D-фильтровые банки были хорошо разработаны. Однако многие сигналы, такие как изображения, видео, 3D-звук, радар и сонар, являются многомерными и требуют разработки многомерных фильтровых банков. С быстрым развитием технологий связи системам обработки сигналов требуется всё больше места для хранения данных в процессе обработки, передачи и приема. Для уменьшения объема обрабатываемых данных, экономии памяти и снижения вычислительной сложности были введены методы многоскоростной дискретизации. Фильтровые банки могут использоваться в различных областях, таких как кодирование изображений, кодирование речи, радар и т.д. Многие вопросы, связанные с 1D-фильтрами, были хорошо изучены, и исследователи предложили множество подходов к проектированию 1D-фильтровых банков. Однако остается еще много нерешенных задач в области проектирования многомерных фильтровых банков. Некоторые методы могут не обеспечивать точное восстановление сигнала, а другие – сложны в реализации. Самый простой способ проектирования многомерного фильтрового банка – это каскадное соединение 1D-фильтровых банков в виде древовидной структуры, где матрица понижения частоты дискретизации является диагональной, а обработка данных выполняется по каждому измерению отдельно. Такие системы называются разделимыми. Однако область поддержки фильтрового банка может быть неразделимой. В этом случае проектирование фильтрового банка становится более сложным. В большинстве случаев мы имеем дело с неразделимыми системами. Фильтровый банк состоит из этапа анализа и этапа синтеза. Каждый этап включает в себя набор параллельно работающих фильтров. Проектирование фильтрового банка заключается в разработке фильтров для этапов анализа и синтеза. Аналитические фильтры разделяют сигнал на перекрывающиеся или неперекрывающиеся поддиапазоны в зависимости от требований приложения. Синтезирующие фильтры должны быть спроектированы таким образом, чтобы восстанавливать входной сигнал из поддиапазонов при объединении выходных сигналов этих фильтров. Обработка обычно выполняется после этапа анализа. Эти фильтровые банки могут быть реализованы с использованием фильтров с конечным импульсным откликом (FIR) или бесконечным импульсным откликом (IIR). Для уменьшения скорости передачи данных на этапах анализа и синтеза соответственно выполняются понижающая и повышающая дискретизация.

1 D filter banks have been well developed until today. However, many signals, such as image, video, 3D sound, radar, sonar, are multidimensional, and require the design of multidimensional filter banks. With the fast development of communication technology, signal processing system needs more room to store data during the processing, transmission and reception. In order to reduce the data to be processed, save storage and lower the complexity, multirate sampling techniques were introduced to achieve these goals. Filter banks can be used in various areas, such as image coding, voice coding, radar and so on. Many 1D filter issues were well studied and researchers proposed many 1D filter bank design approaches. But there are still many multidimensional filter bank design problems that need to be solved. Some methods may not well reconstruct the signal, some methods are complex and hard to implement. The simplest approach to design a multi dimensional filter bank is to cascade 1D filter banks in the form of a tree structure where the decimation matrix is diagonal and data is processed in each dimension separately. Such systems are referred to as separable systems. However, the region of support for the filter banks might not be separable. In that case designing of filter bank gets complex. In most cases we deal with non separable systems. A filter bank consists of an analysis stage and a synthesis stage. Each stage consists of a set of filters in parallel. The filter bank design is the design of the filters in the analysis and synthesis stages. The analysis filters divide the signal into overlapping or non overlapping subbands depending on the application requirements. The synthesis filters should be designed to reconstruct the input signal back from the subbands when the outputs of these filters are combined. Processing is typically performed after the analysis stage. These filter banks can be designed as Infinite impulse response (IIR) or Finite impulse response (FIR). In order to reduce the data rate, downsampling and upsampling are performed in the analysis and synthesis stages, respectively.

Существующие подходы

Ниже представлены несколько подходов к разработке многомерных банков фильтров. Более подробную информацию можно найти в оригинальных источниках.

Многомерные направленные фильтровые банки и поверхностные филеты

M-мерные направленные фильтрационные банки (MDFB) – это семейство фильтрационных банков, способных осуществлять направленное разложение произвольных M-мерных сигналов посредством простой и эффективной древовидной структуры. Они обладают рядом отличительных свойств, таких как: направленное разложение, эффективное построение дерева, угловое разрешение и точное восстановление. В общем случае M-мерности идеальные частотные характеристики MDFB основаны на гиперпирамидах, построенных на гиперкубах. Первый уровень разложения для MDFB достигается с помощью не децимационного фильтрационного банка с N каналами, компоненты фильтра которого представляют собой M D "песочные часы", ориентированные вдоль осей w1, …, wM соответственно. После этого входной сигнал подвергается дальнейшему разложению серией 2D итеративно передискретизированных фильтрационных банков типа "шахматная доска" IRCli(Li) (i=2,3,…,M), где IRCli(Li) оперирует на 2D-срезах входного сигнала, представленных парой размерностей (n1,ni), а верхний индекс (Li) обозначает уровень разложения для фильтрационного банка i-го уровня. Следует отметить, что, начиная со второго уровня, к каждому выходному каналу предыдущего уровня присоединяется фильтрационный банк IRC, и, следовательно, весь фильтр имеет в общей сложности 2(L1 + … + LN) выходных каналов.

Конструкция банка фильтров в области частот

Когда идеальная реконструкция не требуется, задачу проектирования можно упростить, работая в частотной области, а не используя FIR-фильтры. Следует отметить, что метод, основанный на частотной области, не ограничивается проектированием не субдискретизированных банков фильтров (читайте далее).

Банки направленных фильтров

Bamberger и Smith предложили двумерный направленный фильтр банк (DFB). DFB эффективно реализуется посредством l-уровневой древовидной декомпозиции, приводящей к субполосам с клинообразным частотным разделением (см. рисунок). Изначальная конструкция DFB включает в себя модуляцию входного сигнала и использование фильтров в форме ромба. Более того, для получения желаемого частотного разделения необходимо следовать сложному правилу расширения дерева. В результате частотные области результирующих субполос не следуют простому порядку, основанному на индексах каналов, как показано на рисунке 9. Первое преимущество DFB заключается в том, что он не только не является избыточным преобразованием, но и обеспечивает идеальную реконструкцию. Другим преимуществом DFB является его направленная избирательность и эффективная структура. Это делает DFB подходящим подходом для широкого спектра задач обработки сигналов и изображений (например, пирамида Лапласа, построение контурлетов, разреженное представление изображений, медицинская визуализация и т.д.). Направленные фильтр банки могут быть расширены до более высоких размерностей. Их можно использовать в 3D для достижения частотного секционирования.

Приемник-приемник с банком фильтров

Банки фильтров являются важными элементами физического уровня широкополосной беспроводной связи, где ключевой задачей является эффективная обработка сигналов в базовой полосе для множества каналов. Трансиверная архитектура, основанная на банках фильтров, решает проблемы масштабируемости и эффективности, возникавшие в предыдущих схемах при использовании несмежных каналов. Для минимизации ухудшения характеристик, вызванного банком фильтров, необходим грамотный выбор конструкции фильтров. Для разработки универсальных решений можно использовать умеренные предположения относительно формата сигнала, статистики канала и схемы кодирования/декодирования. Могут применяться как эвристические, так и оптимальные методы проектирования, и можно достичь отличных результатов при невысокой вычислительной сложности, если трансивер работает с достаточно высоким коэффициентом дискретизации. Практическим применением является передача OFDM, где банки фильтров обеспечивают очень хорошие характеристики с незначительным увеличением сложности.