Введение
В математике математический объект называется удовлетворяющим свойству локально, если это свойство выполняется на некоторой ограниченной, непосредственно прилегающей части объекта (например, в достаточно малых или произвольно малых окрестностях точек).
Свойства точки на функции
Возможно, наиболее известный пример идеи локальности заключается в концепции локального минимума (или локального максимума), представляющего собой точку функции, значение которой является наименьшим (соответственно, наибольшим) в некоторой окрестности этой точки. Это следует противопоставить идее глобального минимума (или глобального максимума), который соответствует минимальному (соответственно, максимальному) значению функции на всей области ее определения.
Свойства пары пространств
При наличии некоторого понятия эквивалентности (например, гомеоморфизма, диффеоморфизма, изометрии) между топологическими пространствами, два пространства называются локально эквивалентными, если для каждой точки первого пространства существует окрестность, эквивалентная окрестности второго пространства. Например, круг и прямая – это совершенно разные объекты. Невозможно растянуть круг так, чтобы он стал похож на прямую, или сжать прямую, чтобы она поместилась на окружность без разрывов или наложений. Однако небольшой участок круга можно растянуть и расплющить, чтобы он стал похож на небольшой участок прямой. Поэтому можно сказать, что круг и прямая локально эквивалентны. Аналогично, сфера и плоскость локально эквивалентны. Достаточно маленький наблюдатель, находящийся на поверхности сферы (например, человек на Земле), сочтет ее неразличимой от плоскости.
Свойства бесконечных групп
Для бесконечной группы "маленьким соседством" считается конечно порожденная подгруппа. Бесконечная группа называется локально P, если любая конечно порожденная подгруппа является P. Например, группа является локально конечной, если любая конечно порожденная подгруппа конечна, а группа является локально разрешимой, если любая конечно порожденная подгруппа разрешима.
Свойства конечных групп
Для конечных групп под "маленьким окрестностью" понимается подгруппа, определяемая в терминах простого числа p, как правило, локальные подгруппы или нормализаторы нетривиальных p-подгрупп. Свойство называется локальным, если его можно установить, изучая локальные подгруппы. Глобальные и локальные свойства играли важную роль в ранних работах по классификации конечных простых групп, которые проводились в 1960-х годах.
Свойства коммутативных колец
Для коммутативных колец идеи алгебраической геометрии подсказывают естественным образом считать "малой окрестностью" кольца локализацией по простому идеалу. В этом случае свойство называется локальным, если его можно установить, исследуя локальные кольца. Например, свойство быть плоским модулем над коммутативным кольцом является локальным, а свойство быть свободным модулем – нет. Более подробную информацию можно найти в статье "Локализация модуля".