Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Математическая метрика, расстояние в конечномерных пространствах
Mathematical metric
the distance in finite dimensional spaces
В математике расстояние Чебышева (или расстояние Тчебышева), максимальная метрика или L∞-метрика — это метрика, определенная в реальном координатном пространстве, где расстояние между двумя точками равно наибольшей из разностей их координат по любой оси. Она названа в честь Пафнутия Чебышева. Также известно как расстояние шахматного коня, поскольку в шахматах минимальное число ходов, необходимых королю для перемещения с одного поля на другое, равно расстоянию Чебышева между центрами этих полей, если длина стороны поля равна единице и поля представлены в двумерных пространственных координатах с осями, выровненными по краям доски. Например, расстояние Чебышева между полями f6 и e2 равно 4.
In mathematics, Chebyshev distance (or Tchebychev distance), maximum metric, or L∞ metric is a metric defined on a real coordinate space where the distance between two points is the greatest of their differences along any coordinate dimension. It is named after Pafnuty Chebyshev. It is also known as chessboard distance, since in the game of chess the minimum number of moves needed by a king to go from one square on a chessboard to another equals the Chebyshev distance between the centers of the squares, if the squares have side length one, as represented in 2 D spatial coordinates with axes aligned to the edges of the board. For example, the Chebyshev distance between f6 and e2 equals 4.
Свойства
В одном измерении все метрики Lp равны – они представляют собой просто абсолютную величину разности. Двумерное расстояние Манхэттена имеет "круги", то есть линии уровня в форме квадратов со сторонами длины r, ориентированными под углом π/4 (45°) к координатным осям, поэтому двумерное расстояние Чебышева можно рассматривать как эквивалентное повороту и масштабированию (то есть линейному преобразованию) двумерного расстояния Манхэттена. Однако эта геометрическая эквивалентность между метриками L1 и L∞ не распространяется на более высокие размерности. Сфера, построенная с использованием расстояния Чебышева в качестве метрики, является кубом, каждая грань которого перпендикулярна одной из координатных осей, а сфера, построенная с использованием расстояния Манхэттена, является октаэдром: это двойственные многогранники, но среди кубов только квадрат (и одномерный отрезок) являются самодвойственными многогранниками. Тем не менее, верно, что во всех пространствах конечной размерности метрики L1 и L∞ математически двойственны друг другу. На сетке (например, на шахматной доске) точки на расстоянии Чебышева, равном 1, от данной точки образуют окрестность Мура этой точки. Расстояние Чебышева является пределом расстояния Минковского порядка p, когда p стремится к бесконечности.
In one dimension, all Lp metrics are equal – they are just the absolute value of the difference. The two dimensional Manhattan distance has "circles" i. e. level sets in the form of squares, with sides of length r, oriented at an angle of π/4 (45°) to the coordinate axes, so the planar Chebyshev distance can be viewed as equivalent by rotation and scaling to (i. e. a linear transformation of) the planar Manhattan distance. However, this geometric equivalence between L1 and L∞ metrics does not generalize to higher dimensions. A sphere formed using the Chebyshev distance as a metric is a cube with each face perpendicular to one of the coordinate axes, but a sphere formed using Manhattan distance is an octahedron: these are dual polyhedra, but among cubes, only the square (and 1 dimensional line segment) are self dual polytopes. Nevertheless, it is true that in all finite dimensional spaces the L1 and L∞ metrics are mathematically dual to each other. On a grid (such as a chessboard), the points at a Chebyshev distance of 1 of a point are the Moore neighborhood of that point. The Chebyshev distance is the limiting case of the order Minkowski distance, when reaches infinity.
Приложения
Расстояние Чебышева иногда используется в складской логистике, поскольку оно эффективно измеряет время, за которое мостовой кран перемещает объект (так как кран может двигаться по осям x и y одновременно, но с одинаковой скоростью по каждой из них). Оно также широко применяется в электронных системах автоматизированного проектирования и производства (CAM), особенно в алгоритмах оптимизации для этих систем. Многие инструменты, такие как графопостроители, сверлильные станки, фотоплоттеры и т.п., работающие на плоскости, обычно управляются двумя двигателями по осям x и y, подобно мостовым кранам.
The Chebyshev distance is sometimes used in warehouse logistics, as it effectively measures the time an overhead crane takes to move an object (as the crane can move on the x and y axes at the same time but at the same speed along each axis). It is also widely used in electronic Computer Aided Manufacturing (CAM) applications, in particular, in optimization algorithms for these. Many tools, such as plotting or drilling machines, photoplotter, etc. operating in the plane, are usually controlled by two motors in x and y directions, similar to the overhead cranes.
Обобщения
Для пространства последовательностей бесконечной длины, состоящих из действительных или комплексных чисел, расстояние Чебышева обобщается до нормы; эта норма иногда называется нормой Чебышева. Для пространства (действительно- или комплекснозначных) функций расстояние Чебышева обобщается до равномерной нормы.
For the sequence space of infinite length sequences of real or complex numbers, the Chebyshev distance generalizes to the norm; this norm is sometimes called the Chebyshev norm. For the space of (real or complex valued) functions, the Chebyshev distance generalizes to the uniform norm.