Введение

Связывает 4 стороны и 2 диагонали четырехугольника с вершинами на одной окружности.

В евклидовой геометрии теорема Птолемея устанавливает связь между четырьмя сторонами и двумя диагоналями циклического четырехугольника (четырехугольника, вершины которого лежат на одной окружности). Теорема названа в честь греческого астронома и математика Птолемея (Клавдия Птолемея). Птолемей использовал эту теорему как вспомогательный инструмент при создании своей таблицы хорд – тригонометрической таблицы, которую он применял в астрономии. Если вершины циклического четырехугольника последовательно обозначены A, B, C и D, то теорема утверждает, что:

Это соотношение можно сформулировать следующим образом:

Если четырехугольник является циклическим, то произведение длин его диагоналей равно сумме произведений длин противоположных сторон. Более того, обратная теорема Птолемея также верна:

В четырехугольнике, если сумма произведений длин двух пар противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей, то этот четырехугольник можно вписать в окружность, то есть он является циклическим.

Квадрат

Любой квадрат можно вписать в окружность, центр которой совпадает с центром квадрата. Если длина каждой из его четырех сторон равна *l*, то длина диагонали равна *l*√2 согласно теореме Пифагора, и соотношение Птолемея очевидно выполняется.

Пентагон

Более интересным примером является соотношение между длиной стороны a и (общей) длиной b пяти хорд в правильном пятиугольнике. Дополняя до полного квадрата, это соотношение приводит к золотому сечению.

Визуальное доказательство

Анимация демонстрирует визуальное представление теоремы Птолемея, основанное на работе Деррика и Херстейна (2012).

Королярии

В случае окружности единичного диаметра стороны любого вписанного четырёхугольника ABCD численно равны синусам углов, которые они опираются. Аналогично, диагонали равны синусу суммы любой пары углов, которые они опираются. Таким образом, теорему Птолемея можно записать в следующей тригонометрической форме:

Применяя определённые условия к опирающимся углам, можно вывести ряд важных следствий, используя вышесказанное в качестве отправной точки. Далее важно помнить, что сумма углов .

Следующее: теорема Пифагора

Пусть и затем (поскольку противоположные углы вписанного четырехугольника являются суммарными). Тогда:

Вывод 4. Составный угол синус (−)

Пусть Тогда Следовательно, формула для синуса составного угла (−).

Неравенство Птолемея

Уравнение в теореме Птолемея никогда не выполняется для нециклических четырёхугольников. Неравенство Птолемея является обобщением этого факта и представляет собой более общую форму теоремы Птолемея. Оно утверждает, что для любого четырёхугольника ABCD выполняется:

где равенство достигается тогда и только тогда, когда четырёхугольник является вписанным. Этот частный случай эквивалентен теореме Птолемея.