Кіріспе
Евклид геометриясында Птолемей теоремасы – ортақ шеңберде орналасқан төртбұрыштың (төртбұрыш ұштары ортақ шеңберде жатады) 4 қабырғасы мен 2 диагоналі арасындағы қатынасты анықтайды. Теорема грек астрономы және математигі Птолемейдің (Клавдий Птолемей) есімімен аталады. Птолемей бұл теореманы хордалар кестесін жасауға көмектесу үшін пайдаланды, ол астрономияда қолданылған тригонометриялық кесте. Егер циклдік төртбұрыштың төбелері A, B, C және D ретімен орналасқан болса, теорема былай тұжырымдалады:
In Euclidean geometry, Ptolemy's theorem is a relation between the four sides and two diagonals of a cyclic quadrilateral (a quadrilateral whose vertices lie on a common circle). The theorem is named after the Greek astronomer and mathematician Ptolemy (Claudius Ptolemaeus). Ptolemy used the theorem as an aid to creating his table of chords, a trigonometric table that he applied to astronomy. If the vertices of the cyclic quadrilateral are A, B, C, and D in order, then the theorem states that:
This relation may be verbally expressed as follows:
If a quadrilateral is cyclic then the product of the lengths of its diagonals is equal to the sum of the products of the lengths of the pairs of opposite sides. Moreover, the converse of Ptolemy's theorem is also true:
In a quadrilateral, if the sum of the products of the lengths of its two pairs of opposite sides is equal to the product of the lengths of its diagonals, then the quadrilateral can be inscribed in a circle i. e. it is a cyclic quadrilateral.
Бұл қатынасты сөзбен былай түсіндіруге болады:
In Euclidean geometry, Ptolemy's theorem is a relation between the four sides and two diagonals of a cyclic quadrilateral (a quadrilateral whose vertices lie on a common circle). The theorem is named after the Greek astronomer and mathematician Ptolemy (Claudius Ptolemaeus). Ptolemy used the theorem as an aid to creating his table of chords, a trigonometric table that he applied to astronomy. If the vertices of the cyclic quadrilateral are A, B, C, and D in order, then the theorem states that:
This relation may be verbally expressed as follows:
If a quadrilateral is cyclic then the product of the lengths of its diagonals is equal to the sum of the products of the lengths of the pairs of opposite sides. Moreover, the converse of Ptolemy's theorem is also true:
In a quadrilateral, if the sum of the products of the lengths of its two pairs of opposite sides is equal to the product of the lengths of its diagonals, then the quadrilateral can be inscribed in a circle i. e. it is a cyclic quadrilateral.
Егер төртбұрыш циклдік болса, онда оның диагональдарының ұзындықтарының көбейтіндісі, қарама-қарсы жақтарының ұзындықтарының көбейтінділерінің қосындысына тең. Сонымен қатар, Птолемей теоремасының кері теоремасы да дұрыс:
In Euclidean geometry, Ptolemy's theorem is a relation between the four sides and two diagonals of a cyclic quadrilateral (a quadrilateral whose vertices lie on a common circle). The theorem is named after the Greek astronomer and mathematician Ptolemy (Claudius Ptolemaeus). Ptolemy used the theorem as an aid to creating his table of chords, a trigonometric table that he applied to astronomy. If the vertices of the cyclic quadrilateral are A, B, C, and D in order, then the theorem states that:
This relation may be verbally expressed as follows:
If a quadrilateral is cyclic then the product of the lengths of its diagonals is equal to the sum of the products of the lengths of the pairs of opposite sides. Moreover, the converse of Ptolemy's theorem is also true:
In a quadrilateral, if the sum of the products of the lengths of its two pairs of opposite sides is equal to the product of the lengths of its diagonals, then the quadrilateral can be inscribed in a circle i. e. it is a cyclic quadrilateral.
Егер төртбұрышта қарама-қарсы екі жақ жұбының ұзындықтарының көбейтінділерінің қосындысы, оның диагональдарының ұзындықтарының көбейтіндісіне тең болса, онда бұл төртбұрышты шеңберге сыйыстыруға болады, яғни ол циклдік төртбұрыш болып табылады.
In Euclidean geometry, Ptolemy's theorem is a relation between the four sides and two diagonals of a cyclic quadrilateral (a quadrilateral whose vertices lie on a common circle). The theorem is named after the Greek astronomer and mathematician Ptolemy (Claudius Ptolemaeus). Ptolemy used the theorem as an aid to creating his table of chords, a trigonometric table that he applied to astronomy. If the vertices of the cyclic quadrilateral are A, B, C, and D in order, then the theorem states that:
This relation may be verbally expressed as follows:
If a quadrilateral is cyclic then the product of the lengths of its diagonals is equal to the sum of the products of the lengths of the pairs of opposite sides. Moreover, the converse of Ptolemy's theorem is also true:
In a quadrilateral, if the sum of the products of the lengths of its two pairs of opposite sides is equal to the product of the lengths of its diagonals, then the quadrilateral can be inscribed in a circle i. e. it is a cyclic quadrilateral.
Квадрат
Кез келген квадратты ортасы квадраттың ортасы болатын шеңберге сыйыстыруға болады. Егер оның төрт қабырғасының ортақ ұзындығы болса, онда Пифагор теоремасы бойынша диагоналінің ұзындығы тең болады, және Птолемей қатынасы осылай орындалады.
Пентагон
Көбірек қызығушылық тудыратын мысал – қабырғасының a ұзындығы мен дұрыс бесбұрыштағы 5 хорданың (ортақ) b ұзындығы арасындағы байланыс. Толық квадратқа келтіру арқылы, бұл байланыс алтын пропорцияны береді:
Көрнекі дәлелдеу
Бұл анимация Птолемей теоремасын Derrick & Herstein (2012) жұмысы негізінде визуалды түрде көрсетеді.
Қорытындылар
Бірлік диаметрлі шеңбер жағдайында кез келген циклдік төртбұрыш ABCD-нің қабырғаларының ұзындығы сол қабырғалар тірелетін бұрыштардың синустарына тең. Сол сияқты, диагональдардың ұзындығы олар тірелетін екі бұрыш қосындысының синусына тең. Осыдан Птолемей теоремасын келесі тригонометриялық түрде жазуға болады:
Тірелетін бұрыштарға белгілі бір шарттар қойылса, жоғарыда көрсетілгендерді бастапқы нүкте ретінде пайдаланып, бірқатар маңызды салдарларды шығаруға болады. Бұдан әрі, бұрыштардың қосындысы екенін есте ұстаған жөн.
1-ші сабақ: Пифагор теоремасы
Let және Then (циклдік төртбұрыштың қарама-қарсы бұрыштарының қосындысы 180 градусқа тең болғандықтан). Содан кейін:
(since opposite angles of a cyclic quadrilateral are supplementary). Then:
4-ші сабақтас. Құрама бұрыш синусы (−)
Содан кейін, құрама бұрыш синусының (-) формуласын қарастырайық.
Formula for compound angle sine (−).
Птолемей теңсіздігі
Птолемей теоремасындағы теңдеу циклдік емес төртбұрыштар үшін ешқашан орындалмайды. Птолемей теңсіздігі осы фактінің жалғасы болып табылады және Птолемей теоремасының жалпыланған түрі болып келеді. Оған сәйкес, ABCD төртбұрышы берілген жағдайда,
теңдік тек қана төртбұрыш циклдік болғанда ғана орындалады. Бұл ерекше жағдай Птолемей теоремасымен эквивалентті.