Число Эрдеша: Мера научного сотрудничества

Введение

Близость чьих-либо связей с математиком Полом Эрдошем.

Число Эрдоша описывает «степень совместной работы» между математиком Полом Эрдошем и другим человеком, определяемую по авторству математических публикаций. Тот же принцип применяется и в других областях, где конкретный человек сотрудничал с большим и разнообразным кругом коллег.

Обзор

Пол Эрдош (1913–1996) был влиятельным венгерским математиком, который во второй половине своей жизни посвятил много времени написанию статей с большим количеством коллег — более 500 — работающих над решением выдающихся математических задач. За свою жизнь он опубликовал больше статей (не менее 1525), чем любой другой математик в истории. Эрдош большую часть своей карьеры провёл без постоянного дома или работы. Он путешествовал со всем своим имуществом в двух чемоданах и посещал математиков, с которыми хотел сотрудничать, часто неожиданно, и рассчитывал на их гостеприимство. Идея числа Эрдоша изначально возникла у друзей математика как дань уважения его огромной продуктивности. Позже она приобрела известность как инструмент для изучения сотрудничества математиков в поиске решений нерешённых проблем. Несколько проектов посвящены изучению связей между исследователями, используя число Эрдоша в качестве показателя. Например, графы сотрудничества Эрдоша позволяют узнать, как группируются авторы, как меняется число соавторов в статьях с течением времени или как распространяются новые теории. Ряд исследований показали, что ведущие математики, как правило, имеют особенно низкие числа Эрдоша (то есть высокую степень близости). Медианное число Эрдоша лауреатов Филдсовской премии равно 3. Лишь 7097 (около 5% математиков, имеющих путь сотрудничества) имеют число Эрдоша 2 или меньше. Эрдош написал около 1500 математических статей за свою жизнь, преимущественно в соавторстве. У него было 509 непосредственных соавторов; те, кто сотрудничал с людьми, у которых число Эрдоша равно 2 (но не с самим Эрдошем или с кем-либо, у кого число Эрдоша равно 1), имеют число Эрдоша 3 и так далее. Человек, не имеющий такой цепочки соавторства, связывающей его с Эрдошем, имеет число Эрдоша, равное бесконечности (или неопределённое). С момента смерти Пола Эрдоша наименьшее число Эрдоша, которое может получить новый исследователь, равно 2. Существует некоторая неопределённость в определении связи между двумя авторами. Калькулятор дистанции сотрудничества Американского математического общества использует данные из Mathematical Reviews, которые включают в себя большинство математических журналов, но охватывают другие дисциплины лишь в ограниченном объёме, а также некоторые публикации, не относящиеся к исследованиям. На веб-сайте проекта «Число Эрдоша» говорится: «Одним из недостатков системы MR является то, что она рассматривает все совместно написанные работы как дающие законные связи, даже такие статьи, как некрологи, которые на самом деле не являются совместными исследованиями». Также говорится: «Наш критерий включения связи между вершинами u и v — это какое-либо исследовательское сотрудничество между ними, приведшее к опубликованной работе. Допускается любое количество дополнительных соавторов, но исключаются публикации, не относящиеся к исследованиям, такие как элементарные учебники, совместное редактирование, некрологи и тому подобное». «Число Эрдоша второго рода» ограничивает присвоение чисел Эрдоша статьям, в которых участвуют только два соавтора. Число Эрдоша, вероятно, впервые было определено в печати Каспером Гоффманом, аналитиком, чей собственный номер Эрдоша равен 2. См. также некоторые комментарии в некрологе Майкла Голомба. Медианное число Эрдоша среди лауреатов Филдсовской премии составляет всего 3. Однако Эндре Сземереди — лауреат премии Абеля с числом Эрдоша 1. Соавтор Количество совместных работ Андраш Саркози 62 Андраш Хайнал 56 Ральф Фаудри 50 Ричард Шелп 42 Сесил К. Руссо 35 Вера Т. Сос 35 Альфред Реньи 32 Пал Туран 30 Эндре Сземереди 29 Рональд Грэм 28

Paul Erdős (1913–1996) was an influential Hungarian mathematician who in the latter part of his life spent a great deal of time writing papers with a large number of colleagues—over 500—working on solutions to outstanding mathematical problems. He published more papers during his lifetime (at least 1,525) than any other mathematician in history. Erdős spent most of his career with no permanent home or job. He traveled with everything he owned in two suitcases, and would visit mathematicians he wanted to collaborate with, often unexpectedly, and expect to stay with them. The idea of the Erdős number was originally created by the mathematician's friends as a tribute to his enormous output. Later it gained prominence as a tool to study how mathematicians cooperate to find answers to unsolved problems. Several projects are devoted to studying connectivity among researchers, using the Erdős number as a proxy. For example, Erdős collaboration graphs can tell us how authors cluster, how the number of co authors per paper evolves over time, or how new theories propagate. Several studies have shown that leading mathematicians tend to have particularly low Erdős numbers (i. e. high proximity). The median Erdős number of Fields Medalists is 3. Only 7,097 (about 5% of mathematicians with a collaboration path) have an Erdős number of 2 or lower. Erdős wrote around 1,500 mathematical articles in his lifetime, mostly co written. He had 509 direct collaborators;), those who have collaborated with people who have an Erdős number of 2 (but not with Erdős or anyone with an Erdős number of 1) have an Erdős number of 3, and so forth. A person with no such coauthorship chain connecting to Erdős has an Erdős number of infinity (or an undefined one). Since the death of Paul Erdős, the lowest Erdős number that a new researcher can obtain is 2. There is room for ambiguity over what constitutes a link between two authors. The American Mathematical Society collaboration distance calculator uses data from Mathematical Reviews, which includes most mathematics journals but covers other subjects only in a limited way, and which also includes some non research publications. The Erdős Number Project web site says: One drawback of the MR system is that it considers all jointly authored works as providing legitimate links, even articles such as obituaries, which are not really joint research. It also says:

Our criterion for inclusion of an edge between vertices u and v is some research collaboration between them resulting in a published work. Any number of additional co authors is permitted,
but excludes non research publications such as elementary textbooks, joint editorships, obituaries, and the like. The "Erdős number of the second kind" restricts assignment of Erdős numbers to papers with only two collaborators. The Erdős number was most likely first defined in print by Casper Goffman, an analyst whose own Erdős number is 2. See also some comments in an obituary by Michael Golomb. The median Erdős number among Fields medalists is as low as 3. however, Endre Szemerédi is an Abel Prize Laureate with Erdős number 1. Co author Number of collaborations András Sárközy 62 András Hajnal 56 Ralph Faudree 50 Richard Schelp 42 Cecil C. Rousseau 35 Vera T. Sós 35 Alfréd Rényi 32 Pál Turán 30 Endre Szemerédi 29 Ronald Graham 28

Связанные области

По состоянию на 2022 год все лауреаты Медали Филдса имеют конечное число Эрдоша, со значениями в диапазоне от 2 до 6 и медианой 3. В отличие от этого, медиана числа Эрдоша среди всех математиков (с конечным числом Эрдоша) равна 5, с максимальным значением 13. В таблице ниже представлена статистика чисел Эрдоша для лауреатов Нобелевской премии по физике, химии, медицине и экономике. Первая колонка указывает количество лауреатов. Вторая колонка показывает количество лауреатов с конечным числом Эрдоша. Третья колонка – процент лауреатов с конечным числом Эрдоша. В оставшихся столбцах представлены минимальное, максимальное, среднее и медианное числа Эрдоша среди этих лауреатов. + Статистика математического сотрудничества, 1903–2016 #Лауреатов #Эрдош %Эрдош Мин Макс Среднее Медиана Медаль Филдса5656100.0%263.363 Нобелевская премия по экономике764761.84%284.114 Нобелевская премия по химии1724224.42%3105.485 Нобелевская премия по медицине2105827.62%3125.505 Нобелевская премия по физике20015979.50%2125.635

Физика

Среди лауреатов Нобелевской премии по физике Альберт Эйнштейн и Шелдон Глашоу имеют число Эрдоша 2. К нобелевским лауреатам с числом Эрдоша 3 относятся Энрико Ферми, Отто Штерн, Вольфганг Паули, Макс Борн, Уиллис Э. Лэмб, Юджин Вигнер, Ричард П. Фейнман, Ханс А. Бете, Мюррей Гелл-Манн, Абдус Салам, Стивен Вайнберг, Норман Ф. Рэмси, Фрэнк Вильчек и Дэвид Уайнланд. Физик Эд Виттен, удостоенный медали Филдса, имеет число Эрдоша 3.

Биология

У вычислительного биолога Лиора Пахтера число Эрдёша равно 2. У эволюционного биолога Ричарда Ленски число Эрдёша равно 3, поскольку он является соавтором публикации с Лиором Пахтером и с математиком Берндом Штурмфельсом, у каждого из которых число Эрдёша равно 2.

Финансы и экономика

Есть по крайней мере два лауреата Нобелевской премии по экономике с числом Эрдоша 2: Гарри М. Марковиц (1990) и Леонид Канторович (1975). Другие финансовые математики с числом Эрдоша 2 включают Дэвида Донохо, Марка Йор, Генри Маккина, Дэниела Строка и Джозефа Келлера. Среди лауреатов Нобелевской премии по экономике с числом Эрдоша 3 – Кеннет Дж. Ароу (1972), Милтон Фридман (1976), Герберт А. Саймон (1978), Жерар Дебреу (1983), Джон Форбс Нэш-младший (1994), Джеймс Миррлиз (1996), Дэниел МакФадден (2000), Дэниел Канеман (2002), Роберт Дж. Ауман (2005), Леонид Хурвич (2007), Роджер Майерсон (2007), Элвин Э. Рот (2012), Ллойд С. Шапли (2012) и Жан Тироль (2014). Некоторые инвестиционные фирмы были основаны математиками с небольшим числом Эрдоша, в частности Джеймс Б. Ax из Axcom Technologies и Джеймс Х. Саймонс из Renaissance Technologies, у обоих число Эрдоша равно 3.

Философия

Поскольку более формальные направления философии используют методы рассуждений, общие с основами математики, эти области тесно связаны, и для многих философов можно определить числа Эрдоша. Философы Джон П. Берджесс и Брайан Скайрмс имеют число Эрдоша, равное 2. Криптографы Рон Ривест, Ади Шамир и Леонард Адлеман, создатели криптосистемы RSA, также имеют число Эрдоша 2.

Влияние

Числа Эрдоша на протяжении многих лет были частью фольклора математиков во всем мире. Среди всех практикующих математиков на рубеже тысячелетий, имеющих конечное число Эрдоша, эти числа варьируются до 15, медиана равна 5, а среднее – 4,65; например, у политолога Стивена Брамса число Эрдоша равно 2. В биомедицинских исследованиях статистики часто выступают соавторами публикаций, и многих статистиков можно связать с Эрдошем через Джона Тьюки, у которого число Эрдоша равно 2. Аналогично, выдающийся генетик Эрик Ландер и математик Дэниел Клейтман сотрудничали при написании статей, и поскольку у Клейтмана число Эрдоша равно 1, значительная часть генетического и геномного сообщества может быть связана через Ландера и его многочисленных соавторов. Схожим образом, сотрудничество с Густавусом Симмонсом открыло возможность получения чисел Эрдоша в криптографическом исследовательском сообществе, и многие лингвисты имеют конечные числа Эрдоша, часто благодаря цепочкам сотрудничества с такими известными учеными, как Ноам Хомский (число Эрдоша 4), Уильям Лабов (3), Марк Либерман (3), Джеффри Пуллум (3) или Иван Саг (4). Существуют также связи с областями искусства. По словам Алекса Лопеса Ортиса, все лауреаты премий Филдса и Неванлинны за три цикла с 1986 по 1994 год имеют числа Эрдоша не более 9. Более ранние математики публиковали меньше статей, чем современные, и реже публиковали совместно написанные работы. Самым ранним известным человеком с конечным числом Эрдоша является либо Антуан Лавуазье (родился в 1743 году, число Эрдоша 13), Рихард Дедекинд (родился в 1831 году, число Эрдоша 7), либо Фердинанд Георг Фробениус (родился в 1849 году, число Эрдоша 3), в зависимости от критериев допустимости публикации. Мартин Томпа предложил версию задачи о числе Эрдоша, основанную на ориентированном графе, ориентируя ребра графа сотрудничества от автора, стоящего раньше в алфавитном порядке, к автору, стоящему позже, и определяя монотонное число Эрдоша автора как длину самого длинного пути от Эрдоша к автору в этом ориентированном графе. Он обнаружил путь такого типа длиной 12. Кроме того, Майкл Барр предлагает «рациональные числа Эрдоша», обобщая идею о том, что человеку, написавшему p совместных работ с Эрдошем, следует присвоить число Эрдоша 1/p. Из мультиграфа сотрудничества второго рода (хотя у него также есть способ справиться со случаем первого рода) – с одним ребром между двумя математиками для каждой совместной работы, которую они создали – формируется электрическая сеть с резистором в один Ом на каждом ребре. Общее сопротивление между двумя узлами показывает, насколько «близки» эти два узла. Утверждается, что «для отдельного исследователя такая мера, как число Эрдоша, отражает структурные свойства сети, в то время как h-индекс отражает влияние цитирования публикаций», и что «легко убедиться, что ранжирование в сетях соавторства должно учитывать обе меры для создания реалистичного и приемлемого рейтинга». В 2004 году Уильям Тозьер, математик с числом Эрдоша 4, выставил на аукцион на eBay соавторство, предоставив тем самым покупателю число Эрдоша 5. Победительская ставка в размере 1031 доллара была сделана испанским математиком, который отказался платить и сделал ставку только для того, чтобы остановить то, что он считал издевательством.

Erdős numbers have been a part of the folklore of mathematicians throughout the world for many years. Among all working mathematicians at the turn of the millennium who have a finite Erdős number, the numbers range up to 15, the median is 5, and the mean is 4.65; For example, political scientist Steven Brams has an Erdős number of 2. In biomedical research, it is common for statisticians to be among the authors of publications, and many statisticians can be linked to Erdős via John Tukey, who has an Erdős number of 2. Similarly, the prominent geneticist Eric Lander and the mathematician Daniel Kleitman have collaborated on papers, and since Kleitman has an Erdős number of 1, a large fraction of the genetics and genomics community can be linked via Lander and his numerous collaborators. Similarly, collaboration with Gustavus Simmons opened the door for
Erdős numbers within the cryptographic research community, and many linguists have finite Erdős numbers, many due to chains of collaboration with such notable scholars as Noam Chomsky (Erdős number 4), William Labov (3), Mark Liberman (3), Geoffrey Pullum (3), or Ivan Sag (4). There are also connections with arts fields. According to Alex Lopez Ortiz, all the Fields and Nevanlinna prize winners during the three cycles in 1986 to 1994 have Erdős numbers of at most 9. Earlier mathematicians published fewer papers than modern ones, and more rarely published jointly written papers. The earliest person known to have a finite Erdős number is either Antoine Lavoisier (born 1743, Erdős number 13), Richard Dedekind (born 1831, Erdős number 7), or Ferdinand Georg Frobenius (born 1849, Erdős number 3), depending on the standard of publication eligibility. Martin Tompa proposed a directed graph version of the Erdős number problem, by orienting edges of the collaboration graph from the alphabetically earlier author to the alphabetically later author and defining the monotone Erdős number of an author to be the length of a longest path from Erdős to the author in this directed graph. He finds a path of this type of length 12. Also, Michael Barr suggests "rational Erdős numbers", generalizing the idea that a person who has written p joint papers with Erdős should be assigned Erdős number 1/p. From the collaboration multigraph of the second kind (although he also has a way to deal with the case of the first kind)—with one edge between two mathematicians for each joint paper they have produced—form an electrical network with a one ohm resistor on each edge. The total resistance between two nodes tells how "close" these two nodes are. It has been argued that "for an individual researcher, a measure such as Erdős number captures the structural properties of [the] network whereas the h index captures the citation impact of the publications," and that "One can be easily convinced that ranking in coauthorship networks should take into account both measures to generate a realistic and acceptable ranking." In 2004 William Tozier, a mathematician with an Erdős number of 4 auctioned off a co authorship on eBay, hence providing the buyer with an Erdős number of 5. The winning bid of $1031 was posted by a Spanish mathematician, who refused to pay and only placed the bid to stop what he considered a mockery.

Вариации

Было предложено несколько вариаций этой концепции для применения в других областях, в частности, число Бэкона (как в игре «Six Degrees of Kevin Bacon»), связывающее актеров с Кевином Бэйконом через цепочку совместных работ в фильмах. Оно было создано в 1994 году, спустя 25 лет после публикации статьи Гоффмана о числе Эрдоша. Небольшое число людей связано как с Эрдошем, так и с Бэйконом, и, следовательно, имеет число Эрдоша–Бэкона, которое вычисляется как сумма этих двух чисел. Примером является актриса и математик Даника МакКеллар, наиболее известная по роли Винни Купер в сериале «Чудо-годы». Её число Эрдоша равно 4, а число Бэкона — 2. Возможны дальнейшие расширения. Например, «число Эрдоша–Бэкона–Саббата» — это сумма числа Эрдоша–Бэкона и степени вовлеченности в совместное исполнение с группой Black Sabbath. У физика Стивена Хокинга это число было равно 8, а у актрисы Натали Портман — 11 (её число Эрдоша равно 5). В шахматах число Морфи определяет связь игрока с Полом Морфи, которого считают величайшим шахматистом своего времени и неофициальным чемпионом мира. В игре го число Шусаку определяет связь игрока с Хонинбо Шусаку, сильнейшим игроком своего времени. В видеоиграх число Рю определяет связь персонажа видеоигры с персонажем Рю из Street Fighter.