Принцип дополнительности в квантовой механике

Введение

Концепция квантовой физики

В физике комплементарность – это концептуальный аспект квантовой механики, который Нильс Бор считал существенной особенностью теории. Принцип комплементарности утверждает, что определенные пары комплементарных свойств невозможно наблюдать или измерять одновременно, например, положение и импульс или волновые и корпускулярные свойства. В современных терминах комплементарность охватывает как принцип неопределенности, так и волново-частичный дуализм. Бор считал одним из основополагающих положений квантовой механики тот факт, что настройка эксперимента для измерения одной величины из пары, например, положения электрона, исключает возможность измерения другой, однако понимание обоих экспериментов необходимо для характеристики изучаемого объекта. По мнению Бора, поведение атомных и субатомных объектов нельзя отделить от измерительных приборов, которые создают контекст, в котором эти объекты проявляют себя. Следовательно, не существует "единой картины", объединяющей результаты, полученные в различных экспериментальных условиях, и лишь "совокупность всех явлений" в целом может предоставить полностью информативное описание.

Предыстория

Комплементарность как физическая модель берет начало из презентации Нильса Бора в 1927 году в Комо, Италия, на научном праздновании 100-летия работ Алессандро Вольта. Темой Бора была комплементарность – идея о том, что измерения квантовых событий предоставляют взаимодополняющую информацию посредством, казалось бы, противоречивых результатов. Хотя презентация Бора не была встречена с энтузиазмом, она обозначила ключевые вопросы, которые в конечном итоге привели к современной концепции корпускулярно-волнового дуализма. Противоречивые результаты, породившие идеи Бора, накапливались в течение предыдущих 20 лет. Противоречивые свидетельства поступали как от света, так и от электронов. Волновая теория света, успешно существовавшая более ста лет, была поставлена под сомнение моделью излучения черного тела Планка 1901 года и интерпретацией Эйнштейном 1905 года фотоэлектрического эффекта. Эти теоретические модели используют дискретную энергию, квант, для описания взаимодействия света с материей. Несмотря на подтверждение многочисленными экспериментальными наблюдениями, фотонная теория (как она стала называться позже) оставалась спорной до тех пор, пока Артур Комптон в серии экспериментов с 1922 по 1924 год не продемонстрировал импульс света. Экспериментальные данные о импульсе, подобном импульсу частицы, казалось бы, противоречили другим экспериментам, демонстрирующим волновые интерференционные свойства света. Противоречивые данные об электронах поступили в обратном порядке. Многие эксперименты, проведенные, в частности, Дж. Дж. Томсоном, Робертом Милликаном и Чарльзом Уилсоном, показали, что свободные электроны обладают свойствами частиц. Однако в 1924 году Луи де Бройль предположил, что электроны имеют связанную с ними волну, а Шрёдингер продемонстрировал, что волновые уравнения точно описывают свойства электронов в атомах. Снова некоторые эксперименты демонстрировали свойства частиц, а другие – свойства волн. Бор разрешил эти противоречия, приняв их. В своей лекции в Комо он сказал: «наша интерпретация экспериментальных данных по существу опирается на классические понятия». Гейзенберг соответствующим образом добавил примечание к этому эффекту к своей статье перед ее публикацией, заявив: Бор обратил мое внимание на то, что неопределенность в наших наблюдениях возникает не исключительно из-за возникновения разрывов, но напрямую связана с требованием приписывать равную обоснованность совершенно различным экспериментам, которые проявляются в [частичной] теории, с одной стороны, и в волновой теории – с другой. Бор публично представил принцип комплементарности в лекции, которую он произнес 16 сентября 1927 года на Международном конгрессе физиков, проходившем в Комо, Италия, в котором приняли участие большинство ведущих физиков того времени, за исключением Эйнштейна, Шрёдингера и Дирака. Однако эти трое присутствовали месяц спустя, когда Бор вновь представил принцип на Пятом Сольвеевском конгрессе в Брюсселе, Бельгия. Лекция была опубликована в материалах обеих этих конференций и переиздана в следующем году в Naturwissenschaften (на немецком языке) и в Nature (на английском языке). В своей первоначальной лекции на эту тему Бор отметил, что точно так же, как конечность скорости света подразумевает невозможность четкого разделения пространства и времени (теория относительности), конечность кванта действия подразумевает невозможность четкого разделения между поведением системы и ее взаимодействием с измерительными приборами и приводит к хорошо известным трудностям с концепцией «состояния» в квантовой теории; понятие комплементарности призвано отразить эту новую ситуацию в эпистемологии, созданную квантовой теорией. Физики Ф. А. М. Фрескура и Базил Хайли обобщили причины введения принципа комплементарности в физике следующим образом: в традиционном представлении предполагается, что существует реальность в пространстве-времени, и эта реальность является данностью, все аспекты которой можно рассматривать или сформулировать в любой данный момент. Бор первым указал на то, что квантовая механика ставит под сомнение этот традиционный взгляд. Для него «неделимость кванта действия» подразумевала, что не все аспекты системы можно рассматривать одновременно. Используя один конкретный аппарат, можно было проявить только определенные характеристики за счет других, в то время как с другим аппаратом можно было проявить другой комплементарный аспект таким образом, что исходный набор становился неявным, то есть исходные атрибуты больше не были четко определены. Для Бора это было указанием на то, что принцип комплементарности, принцип, который он ранее знал как широко распространенный в других интеллектуальных дисциплинах, но не встречающийся в классической физике, должен быть принят как универсальный принцип.

Complementarity as a physical model derives from Niels Bohr's 1927 presentation in Como, Italy, at a scientific celebration of the work of Alessandro Volta 100 years previous. Bohr's subject was complementarity, the idea that measurements of quantum events provide complementary information through seemingly contradictory results. While Bohr's presentation was not well received, it did crystallize the issues ultimately leading to the modern wave particle duality concept. The contradictory results that triggered Bohr's ideas had been building up over the previous 20 years. The contradictory evidence came both from light and from electrons. The wave theory of light, broadly successful for over a hundred years, had been challenged by Planck's 1901 model of blackbody radiation and Einstein's 1905 interpretation of the photoelectric effect. These theoretical models use discrete energy, a quantum, to describe the interaction of light with matter. Despite confirmation by various experimental observations, the photon theory (as it came to be called later) remained controversial until Arthur Compton performed a series of experiments from 1922 to 1924 demonstrating the momentum of light. The experimental evidence of particle like momentum seemingly contradicted other experiments demonstrating the wave like interference of light. The contradictory evidence from electrons arrived in the opposite order. Many experiments by J. J. Thompson, Robert Millikan, and Charles Wilson among others had shown that free electrons had particle properties. However, in 1924, Louis de Broglie proposed that electrons had an associated wave and Schrödinger demonstrated that wave equations accurately account for electron properties in atoms. Again some experiments showed particle properties and others wave properties. Bohr's resolution of these contradictions is to accept them. In his Como lecture he says: "our interpretation of the experimental material rests essentially upon the
classical concepts." Heisenberg duly appended a note to this effect to his paper, before its publication, stating:

Bohr has brought to my attention [that] the uncertainty in our observation does not arise exclusively from the occurrence of discontinuities, but is tied directly to the demand that we ascribe equal validity to the quite different experiments which show up in the [particulate] theory on one hand, and in the wave theory on the other hand. Bohr publicly introduced the principle of complementarity in a lecture he delivered on 16 September 1927 at the International Physics Congress held in Como, Italy, attended by most of the leading physicists of the era, with the notable exceptions of Einstein, Schrödinger, and Dirac. However, these three were in attendance one month later when Bohr again presented the principle at the Fifth Solvay Congress in Brussels, Belgium. The lecture was published in the proceedings of both of these conferences, and was republished the following year in Naturwissenschaften (in German) and in Nature (in English). In his original lecture on the topic, Bohr pointed out that just as the finitude of the speed of light implies the impossibility of a sharp separation between space and time (relativity), the finitude of the quantum of action implies the impossibility of a sharp separation between the behavior of a system and its interaction with the measuring instruments and leads to the well known difficulties with the concept of 'state' in quantum theory; the notion of complementarity is intended to capture this new situation in epistemology created by quantum theory. Physicists F. A. M. Frescura and Basil Hiley have summarized the reasons for the introduction of the principle of complementarity in physics as follows:
In the traditional view, it is assumed that there exists a reality in space time and that this reality is a given thing, all of whose aspects can be viewed or articulated at any given moment. Bohr was the first to point out that quantum mechanics called this traditional outlook into question. To him the "indivisibility of the quantum of action" [ ] implied that not all aspects of a system can be viewed simultaneously. By using one particular piece of apparatus only certain features could be made manifest at the expense of others, while with a different piece of apparatus another complementary aspect could be made manifest in such a way that the original set became non manifest, that is, the original attributes were no longer well defined. For Bohr, this was an indication that the principle of complementarity, a principle that he had previously known to appear extensively in other intellectual disciplines but which did not appear in classical physics, should be adopted as a universal principle.

Дискуссия после лекций

Комплементарность была центральным элементом ответа Бора на парадокс ЭПР, представлявшего собой попытку Альберта Эйнштейна, Бориса Подольского и Натана Розена доказать, что квантовые частицы должны обладать определенными значениями координаты и импульса даже без проведения измерений, а следовательно, квантовая механика является неполной теорией. Мысленный эксперимент, предложенный Эйнштейном, Подольским и Розеном, заключался в создании двух частиц и разнесении их на большое расстояние. Экспериментатор мог выбирать, измерять координату или импульс одной из частиц. Зная результат, он в принципе мог бы точно предсказать результат соответствующего измерения другой, удаленной частицы. Эйнштейн, Подольский и Розен считали, что это означает, что удаленная частица должна иметь определенные значения обеих величин, независимо от того, производится ли какое-либо измерение над ней. В ответ Бор утверждал, что нельзя переносить вывод о значении координаты на ситуацию, в которой измеряется импульс, и наоборот. Более поздние изложения принципа комплементарности Бором включают лекцию 1938 года в Варшаве и статью 1949 года, написанную для сборника в честь Альберта Эйнштейна. Эта тема также была затронута в эссе 1953 года, написанном соратником Бора Леоном Розенфельдом.

Математический формализм

Для Бора комплементарность была "конечной причиной" принципа неопределенности. Все попытки осмыслить атомные явления, используя классическую физику, в конечном итоге оказывались безуспешными, как он писал, что привело к осознанию того, что эти явления обладают "комплементарными аспектами". Однако классическую физику можно обобщить для решения этой проблемы, и с "удивительной простотой", описывая физические величины с помощью некоммутативной алгебры. В математической формулировке квантовой механики физические величины, которые классическая механика рассматривала как переменные с действительными значениями, становятся самосопряженными операторами в гильбертовом пространстве. Эти операторы, называемые "наблюдаемыми", могут не коммутировать, и в этом случае они называются "несовместимыми": несовместимые наблюдаемые не могут иметь полного набора общих собственных состояний; могут существовать собственные состояния, общие для и , но их недостаточно для формирования полного базиса. Каноническое коммутационное соотношение

означает, что это применимо к координате и импульсу. С точки зрения Бора, это математическое утверждение о том, что координата и импульс являются комплементарными аспектами. Аналогичное соотношение справедливо для любых двух операторов спина, определяемых матрицами Паули; измерения спина вдоль перпендикулярных осей являются комплементарными. Два базиса и для мерного гильбертова пространства являются взаимно несмещенными, когда

Здесь базисный вектор , например, имеет одинаковое перекрытие с каждым ; существует равная вероятность перехода между состоянием в одном базисе и любым состоянием в другом базисе. Каждый базис соответствует наблюдаемой, и наблюдаемые для двух взаимно несмещенных базисов являются комплементарными друг другу. Концепция комплементарности также применяется к квантовым измерениям, описываемым положительно-значными операторными мерами (POVM).