Герман Грассман: Жизнь и научное наследие полимата

Введение

Германский полимат, лингвист и математик (1809–1877)

Герман Гюнтер Грассманн (15 апреля 1809 – 26 сентября 1877) был немецким полиматом, известным в свое время как лингвист, а сейчас также как математик. Он также был физиком, широким ученым и издателем. Его математические работы долгое время оставались незамеченными, пока ему не исполнилось шестьдесят лет. Его работы предвосхитили и превзошли концепцию, известную сегодня как векторное пространство. Он ввел грассманиа́н – пространство, параметризующее все k-мерные линейные подпространства n-мерного векторного пространства V. В лингвистике он способствовал разделению истории языка и его структуры.

Биография

Герман Грасман был третьим из 12 детей Юстуса Гюнтера Грасмана, священника, получившего рукоположение и преподававшего математику и физику в Штеттинской гимназии, где и учился Герман. Грасман не проявлял особых способностей в учебе, пока не получил высокую оценку на экзаменах для поступления в прусские университеты. Начиная с 1827 года, он изучал теологию в Берлинском университете, одновременно посещая занятия по классическим языкам, философии и литературе. Доказательств того, что он изучал математику или физику, не обнаружено. Несмотря на отсутствие университетской подготовки в математике, именно эта область представляла для него наибольший интерес, когда он вернулся в Штеттин в 1830 году после окончания учебы в Берлине. После года подготовки он сдал экзамены, необходимые для преподавания математики в гимназии, но его результат позволил преподавать только на начальных ступенях. Примерно в это время он сделал свои первые значительные математические открытия, которые привели его к важным идеям, изложенным в его работе 1844 года Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik, здесь именуемой A1, позднее переработанной в 1862 году как Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet, здесь именуемой A2. В 1834 году Грасман начал преподавать математику в Гевербесхуле в Берлине. Год спустя он вернулся в Штеттин, чтобы преподавать математику, физику, немецкий, латынь и религию в новой школе, Otto Schule. В течение следующих четырех лет Грасман сдал экзамены, дающие право преподавать математику, физику, химию и минералогию на всех уровнях средней школы. В 1847 году он получил должность "Oberlehrer", то есть старшего учителя. В 1852 году он был назначен на место своего покойного отца в Штеттинской гимназии, что дало ему звание профессора. В 1847 году он обратился в прусское министерство образования с просьбой рассмотреть его кандидатуру на должность в университете, после чего министерство запросило мнение Эрнста Куммера о Грасманне. Куммер ответил, что эссе Грасмана 1846 года (см. ниже) содержит "достойный материал, изложенный в несовершенной форме". Заключение Куммера положило конец любым надеждам Грасмана получить университетскую должность. Этот эпизод оказался типичным; неоднократно ведущие умы того времени не признавали ценности математических работ Грасмана. Начиная с периода политической нестабильности в Германии в 1848–1849 годах, Герман и его брат Роберт издавали штеттинскую газету Deutsche Wochenschrift für Staat, Kirche und Volksleben, призывая к объединению Германии под конституционной монархией. (Это произошло в 1871 году.) После публикации серии статей о конституционном праве Герман порвал с газетой, обнаружив растущее несогласие с ее политической линией. У Грасмана было одиннадцать детей, семеро из которых достигли совершеннолетия. Его сын, Герман Эрнст Грасман, стал профессором математики в университете Гиссена.

Hermann Grassmann was the third of 12 children of Justus Günter Grassmann, an ordained minister who taught mathematics and physics at the Stettin Gymnasium, where Hermann was educated. Grassmann was an undistinguished student until he obtained a high mark on the examinations for admission to Prussian universities. Beginning in 1827, he studied theology at the University of Berlin, also taking classes in classical languages, philosophy, and literature. He does not appear to have taken courses in mathematics or physics. Although lacking university training in mathematics, it was the field that most interested him when he returned to Stettin in 1830 after completing his studies in Berlin. After a year of preparation, he sat the examinations needed to teach mathematics in a gymnasium, but achieved a result good enough to allow him to teach only at the lower levels. Around this time, he made his first significant mathematical discoveries, ones that led him to the important ideas he set out in his 1844 paper Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik, here referred to as A1, later revised in 1862 as Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet, here referred to as A2. In 1834 Grassmann began teaching mathematics at the Gewerbeschule in Berlin. A year later, he returned to Stettin to teach mathematics, physics, German, Latin, and religious studies at a new school, the Otto Schule. Over the next four years, Grassmann passed examinations enabling him to teach mathematics, physics, chemistry, and mineralogy at all secondary school levels. In 1847, he was made an "Oberlehrer" or head teacher. In 1852, he was appointed to his late father's position at the Stettin Gymnasium, thereby acquiring the title of Professor. In 1847, he asked the Prussian Ministry of Education to be considered for a university position, whereupon that Ministry asked Ernst Kummer for his opinion of Grassmann. Kummer wrote back saying that Grassmann's 1846 prize essay (see below) contained "commendably good material expressed in a deficient form." Kummer's report ended any chance that Grassmann might obtain a university post. This episode proved the norm; time and again, leading figures of Grassmann's day failed to recognize the value of his mathematics. Starting during the political turmoil in Germany, 1848–49, Hermann and his brother Robert published a Stettin newspaper, Deutsche Wochenschrift für Staat, Kirche und Volksleben, calling for German unification under a constitutional monarchy. (This eventuated in 1871.) After writing a series of articles on constitutional law, Hermann parted company with the newspaper, finding himself increasingly at odds with its political direction. Grassmann had eleven children, seven of whom reached adulthood. A son, Hermann Ernst Grassmann, became a professor of mathematics at the University of Giessen.

Отклик

В 1840-х годах математики в целом не были готовы к пониманию идей Грассмана. В 1860-х и 1870-х годах различные математики пришли к идеям, схожим с идеями Грассмана, но сам Грассман больше не проявлял интереса к математике. Адхемар Жан-Клод Барре де Сент-Венант разработал векторный анализ, подобный анализу Грассмана, который он опубликовал в 1845 году. Затем он вступил в полемику с Грассманом относительно того, кто первым сформулировал эти идеи. Грассман опубликовал свои результаты в 1844 году, однако Сент-Венант утверждал, что впервые разработал эти идеи в 1832 году. Одним из первых математиков, который оценил идеи Грассмана при его жизни, был Герман Хэнкель, в своей работе 1867 года "Theorie der complexen Zahlensysteme" [ ], он развил [ ] некоторые алгебры Германна Грассмана и кватернионы Уильяма Роуэна Гамильтона. Хэнкель первым признал значимость давно забытых трудов Грассмана и находился под их сильным влиянием. В 1872 году Виктор Шлегель опубликовал первую часть своей работы "System der Raumlehre", в которой использовал подход Грассмана для получения как древних, так и современных результатов в планиметрии. Феликс Клейн написал негативный отзыв о книге Шлегеля, указав на ее неполноту и отсутствие перспективы, связанной с Грассманом. В 1875 году Шлегель опубликовал вторую часть своей "Системы" в соответствии с идеями Грассмана, на этот раз развивая геометрию более высоких размерностей. Тем временем Клейн продвигал свою эрлангенскую программу, которая также расширяла область геометрии. Понимание Грассмана требовало концепции векторных пространств, которые могли бы выразить многолинейную алгебру его теории расширения. Чтобы установить приоритет Грассмана над Гамильтоном, Джозия Виллард Гиббс настоятельно рекомендовал наследникам Грассмана опубликовать эссе о приливах, написанное в 1840 году. Первая монография А.Н. Уайтхеда, "Универсальная алгебра" (1898), содержала первое систематическое изложение на английском языке теории расширения и внешней алгебры. С развитием дифференциальной геометрии внешняя алгебра была применена к дифференциальным формам. В 1995 году Ллойд К. Канненберг опубликовал английский перевод "The Ausdehnungslehre and Other works". Для ознакомления с ролью работ Грассмана в современной математической физике обратитесь к книге Роджера Пенроуза "Дорога к реальности".

In the 1840s, mathematicians were generally unprepared to understand Grassmann's ideas. In the 1860s and 1870s various mathematicians came to ideas similar to that of Grassmann's, but Grassmann himself was not interested in mathematics anymore. Adhémar Jean Claude Barré de Saint Venant developed a vector calculus similar to that of Grassmann, which he published in 1845. He then entered into a dispute with Grassmann about which of the two had thought of the ideas first. Grassmann had published his results in 1844, but Saint Venant claimed that he had first developed these ideas in 1832. One of the first mathematicians to appreciate Grassmann's ideas during his lifetime was Hermann Hankel, whose 1867 Theorie der complexen Zahlensysteme. [ ], he developed [ ] some of Hermann Grassmann's algebras and W. R. Hamilton's quaternions. Hankel was the first to recognise the significance of Grassmann's long neglected writings and was strongly influenced by them. In 1872 Victor Schlegel published the first part of his System der Raumlehre, which used Grassmann's approach to derive ancient and modern results in plane geometry. Felix Klein wrote a negative review of Schlegel's book citing its incompleteness and lack of perspective on Grassmann. Schlegel followed in 1875 with a second part of his System according to Grassmann, this time developing higher dimensional geometry. Meanwhile, Klein was advancing his Erlangen program, which also expanded the scope of geometry. Comprehension of Grassmann awaited the concept of vector spaces, which then could express the multilinear algebra of his extension theory. To establish the priority of Grassmann over Hamilton, Josiah Willard Gibbs urged Grassmann's heirs to have the 1840 essay on tides published. A. N. Whitehead's first monograph, the Universal Algebra (1898), included the first systematic exposition in English of the theory of extension and the exterior algebra. With the rise of differential geometry the exterior algebra was applied to differential forms. In 1995 Lloyd C. Kannenberg published an English translation of The Ausdehnungslehre and Other works. For an introduction to the role of Grassmann's work in contemporary mathematical physics see The Road to Reality by Roger Penrose.

Лингвист

Математические идеи Грассмана начали распространяться лишь к концу его жизни. Через тридцать лет после публикации A1 издатель написал Грассману: «Ваша книга "Die Ausdehnungslehre" давно вышла из печати. Поскольку ваша работа почти не продавалась, около 600 экземпляров были использованы в 1864 году в качестве макулатуры, а оставшиеся немногочисленные экземпляры были распроданы, за исключением одного экземпляра в нашей библиотеке». Разочарованный приемом своей работы в математических кругах, Грассман потерял контакты с математиками и утратил интерес к геометрии. В последние годы жизни он обратился к исторической лингвистике и изучению санскрита. Он написал книги по немецкой грамматике, собрал народные песни и выучил санскрит. Он создал словарь объемом в 2000 страниц и перевод "Ригведы" (более 1000 страниц). В современных исследованиях "Ригведы" работа Грассмана часто цитируется. В 1955 году было издано третье издание его словаря. Грассман также заметил и сформулировал фонологическое правило, существующее как в санскрите, так и в греческом языке. В его честь это фонологическое правило известно как закон Грассмана. Его открытие стало революционным для исторической лингвистики того времени, поскольку оно опровергало широко распространенное представление о санскрите как о более древнем предшественнике других индоевропейских языков. Такое предположение было распространено из-за более агглютинативной структуры санскрита, через которую, как считалось, прошли языки, такие как латынь и греческий, чтобы достичь своей более "современной" синтетической структуры. Однако работа Грассмана доказала, что по крайней мере в одной фонологической модели немецкий язык на самом деле "старше" (то есть менее синтетичен), чем санскрит. Это означало, что генеалогическая и типологическая классификации языков наконец были правильно разделены в лингвистике, что позволило добиться значительного прогресса для последующих лингвистов. Эти филологические достижения были отмечены при его жизни. Он был избран в Американское востоковедческое общество, а в 1876 году получил почетную докторскую степень в Тюбингенском университете.

Grassmann's mathematical ideas began to spread only towards the end of his life. Thirty years after the publication of A1 the publisher wrote to Grassmann: “Your book Die Ausdehnungslehre has been out of print for some time. Since your work hardly sold at all, roughly 600 copies were used in 1864 as waste paper and the remaining few odd copies have now been sold out, with the exception of the one copy in our library.” Disappointed by the reception of his work in mathematical circles, Grassmann lost his contacts with mathematicians as well as his interest in geometry. In the last years of his life he turned to historical linguistics and the study of Sanskrit. He wrote books on German grammar, collected folk songs, and learned Sanskrit. He wrote a 2,000 page dictionary and a translation of the Rigveda (more than 1,000 pages). In modern studies of the Rigveda, Grassmann's work is often cited. In 1955 a third edition of his dictionary was issued. Grassmann also noticed and presented a phonological rule that exists in both Sanskrit and Greek. In his honor, this phonological rule is known as Grassmann's law. His discovery was revolutionary for historical linguistics at the time, as it challenged the widespread notion of Sanskrit as an older predecessor to other Indo European languages. This was a widespread assumption due to Sanskrit's more agglutinative structure, which languages like Latin and Greek were thought to have passed through to reach their more "modern" synthetic structure. However, Grassman's work proved that, in at least one phonological pattern, German was indeed "older" (i. e., less synthetic) than Sanskrit. This meant that genealogical and typological classifications of languages were at last correctly separated in linguistics, allowing significant progress for later linguists. These philological accomplishments were honored during his lifetime. He was elected to the American Oriental Society and in 1876 he received an honorary doctorate from the University of Tübingen.