Введение
Пространство, в котором каждая точка локально подобна гиперболическому пространству.
В математике гиперболическое многообразие — это пространство, где каждая точка локально выглядит как гиперболическое пространство некоторой размерности. Они особенно изучаются в размерностях 2 и 3, где они называются гиперболическими поверхностями и гиперболическими 3-многообразиями соответственно. В этих размерностях они важны, поскольку большинство многообразий можно преобразовать в гиперболическое многообразие посредством гомеоморфизма. Это является следствием теоремы об униформизации для поверхностей и теоремы о геометризации для 3-многообразий, доказанной Перельманом.
In mathematics, a hyperbolic manifold is a space where every point looks locally like hyperbolic space of some dimension. They are especially studied in dimensions 2 and 3, where they are called hyperbolic surfaces and hyperbolic 3 manifolds, respectively. In these dimensions, they are important because most manifolds can be made into a hyperbolic manifold by a homeomorphism. This is a consequence of the uniformization theorem for surfaces and the geometrization theorem for 3 manifolds proved by Perelman.
Строгое определение
Гиперболический многообразие — это полное риманово многообразие с постоянной сечением кривизной. Каждое полное, связное, простосвязное многообразие с постоянной отрицательной кривизной изометрично вещественному гиперболическому пространству. Следовательно, универсальная накрывающая группа любого замкнутого многообразия с постоянной отрицательной кривизной является Таким образом, каждое такое многообразие можно представить в виде , где — дискретная группа изометрий без кручения на . То есть, — дискретная подгруппа группы изометрий . Многообразие имеет конечный объем тогда и только тогда, когда — решетка. Его толсто-тонкое разложение имеет тонкую часть, состоящую из трубчатых окрестностей замкнутых геодезических и концов, являющихся произведением евклидова многообразия и полубесконечного луча. Многообразие имеет конечный объем тогда и только тогда, когда его толстая часть компактна.
Every complete, connected, simply connected manifold of constant negative curvature is isometric to the real hyperbolic space As a result, the universal cover of any closed manifold of constant negative curvature is Thus, every such can be written as where is a torsion free discrete group of isometries on That is, is a discrete subgroup of The manifold has finite volume if and only if is a lattice. Its thick–thin decomposition has a thin part consisting of tubular neighborhoods of closed geodesics and ends which are the product of a Euclidean manifold and the closed half ray. The manifold is of finite volume if and only if its thick part is compact.
Примеры
Самый простой пример гиперболического многообразия - это гиперболическое пространство, поскольку каждая точка в гиперболическом пространстве имеет соседство, изометрическое гиперболическому пространству. Простой нетривиальный пример, однако, это когда-то проколотый торус. Это пример многообразия. Это можно сформировать, взяв идеальный прямоугольник в , то есть прямоугольник, вершины которого находятся на границе в бесконечности, и, таким образом, не существуют в полученном многообразии и идентифицируют противоположные изображения. Аналогичным образом мы можем построить трехкратно проколотую сферу, показанную ниже, склеив два идеальных треугольника вместе. Это также показывает, как нарисовать кривые на поверхности черная линия на диаграмме становится закрытой кривой, когда зеленые края склеены вместе. Поскольку мы работаем с проколотой сферой, цветные круги на поверхности включая их границы не являются частью поверхности, и поэтому представлены на диаграмме как идеальные вершины. Многие узлы и связи, включая некоторые из более простых узлов, таких как восьмизначный узел и кольца Борромея, являются гиперболическими, и поэтому комплемент узла или связи в гиперболическом 3-м многообразии конечного объема.
Важные результаты
Для гиперболической структуры на гиперболическом многообразии конечного объема существует единственность согласно теореме Мостоу о жесткости, и поэтому геометрические инварианты фактически являются топологическими инвариантами. Одним из таких геометрических инвариантов, используемых как топологический, является гиперболический объем дополнения узла или зацепления, который позволяет различать два узла, изучая геометрию соответствующих многообразий.