Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Метод, используемый для доказательства сходимости знакочередующегося ряда
Method used to show that an alternating series is convergent
В математическом анализе тест чередующегося ряда — это метод, используемый для доказательства сходимости знакочередующегося ряда, когда его члены (1) убывают по абсолютной величине и (2) стремятся к нулю в пределе. Этот тест был предложен Готфридом Лейбницем и иногда известен как критерий Лейбница, правило Лейбница или тест Лейбница. Тест является лишь достаточным, но не необходимым условием, поэтому некоторые сходящиеся знакочередующиеся ряды могут не удовлетворять первому условию теста.
In mathematical analysis, the alternating series test is the method used to show that an alternating series is convergent when its terms (1) decrease in absolute value, and (2) approach zero in the limit. The test was used by Gottfried Leibniz and is sometimes known as Leibniz's test, Leibniz's rule, or the Leibniz criterion. The test is only sufficient, not necessary, so some convergent alternating series may fail the first part of the test.
Доказательство
Предположим, что нам дан ряд вида , где и для всех натуральных чисел n. (Случай достигается взятием отрицательного значения.)
Suppose we are given a series of the form , where and for all natural numbers n. (The case follows by taking the negative.)
Доказательство теоремы о переменных рядах
Мы хотели бы показать это, разбив на два случая. Когда k = 2m+1, то есть нечётное, то
We would like to show by splitting into two cases. When k = 2m+1, i. e. odd, then
Когда k = 2m, то есть чётное, то
When k = 2m, i. e. even, then
что и требовалось доказать. Оба случая по существу опираются на последнее неравенство, полученное в предыдущем доказательстве. Альтернативное доказательство с использованием критерия Коши для сходимости можно найти в разделе "Суммирование знакочередующихся рядов". Обобщение представлено в тесте Дирихле.
as desired. Both cases rely essentially on the last inequality derived in the previous proof. For an alternative proof using Cauchy's convergence test, see Alternating series. For a generalization, see Dirichlet's test.
Типичный пример
Чередующийся гармонический ряд удовлетворяет обоим условиям теоремы Лейбница для знакочередующихся рядов и сходится.
The alternating harmonic series meets both conditions for the alternating series test and converges.
Пример, чтобы показать однообразие, необходим
Для того, чтобы заключение было верным, необходимо выполнение всех условий теста, а именно сходимость к нулю и монотонность. Например, рассмотрим ряд
All of the conditions in the test, namely convergence to zero and monotonicity, should be met in order for the conclusion to be true. For example, take the series
Знаки чередуются и члены стремятся к нулю. Однако монотонности нет, и мы не можем применить данный критерий. Фактически, ряд расходится. Действительно, для частичной суммы мы имеем , что в два раза больше частичной суммы гармонического ряда, который расходится. Следовательно, исходный ряд расходится.
The signs are alternating and the terms tend to zero. However, monotonicity is not present and we cannot apply the test. Actually the series is divergent. Indeed, for the partial sum we have which is twice the partial sum of the harmonic series, which is divergent. Hence the original series is divergent.