Кіріспе
Кезектесетін қатардың жинақтығын көрсету әдісі. Математикалық талдауда, кезектесетін қатарлар сынағы – қатардың мүшелері (1) абсолюттік мәні бойынша кемитін және (2) шегі нөлге жақындаған кезде, кезектесетін қатардың жинақтылығын көрсетуге қолданылатын әдіс. Бұл сынақты Готфрид Лейбниц қолданған, және ол кейде Лейбниц сынағы, Лейбниц ережесі немесе Лейбниц критерийі деп аталады. Бұл сынақ тек жеткілікті, қажетті емес, сондықтан кейбір жинақты кезектесетін қатарлар сынақтың бірінші бөлігінен өте алмайды.
In mathematical analysis, the alternating series test is the method used to show that an alternating series is convergent when its terms (1) decrease in absolute value, and (2) approach zero in the limit. The test was used by Gottfried Leibniz and is sometimes known as Leibniz's test, Leibniz's rule, or the Leibniz criterion. The test is only sufficient, not necessary, so some convergent alternating series may fail the first part of the test.
Дәлел
Бізге , барлық натурал n үшін , , түріндегі қатар берілген болсын. (Теріс санды алсақ, жағдай да осылай болады.)
Айнымалы қатарлар бағалау теоремасының дәлелі
Біз екі жағдайға бөлініп көрсетейік. k = 2m+1, яғни тақ болғанда, онда
k = 2m, яғни жұп болғанда, онда
қалаған нәтижеге жетеміз. Екі жағдайдың да негізі алдыңғы дәлелдеуде алынған соңғы теңсіздікке байланысты. Кошидің конвергенция сынағын қолданатын баламалы дәлелдеу үшін «Ауыспалы қатарлар» бөлімін қараңыз. Жалпылау үшін Дирихле сынағын қараңыз.
Үлгілі мысал
Алмасушы гармониялық қатар алмасушы қатар тестінің екі шартын да қанағаттандырады және жинақталады.
Монотондылықты көрсету үшін мысал қажет
Сынақтағы барлық шарттар, атап айтқанда нөлге жуықтау және монотондылық, қорытындының дұрыс болуы үшін орындалуы керек. Мысалы, келесі қатарды қарастырайық.
Мүшелердің таңбалары кезектеседі және мүшелер нөлге жуықтайды. Дегенмен, монотондылық сақталмайды және біз бұл сынақты қолдана алмаймыз. Шындығында, бұл қатар жиналмайды. Расында, ішінара қосындысы үшін бізде гармоникалық қатардың ішінара қосындысының екі еселенгені бар, ал ол жиналмайды. Осылайша, бастапқы қатар жиналмайды.