Введение

Обобщение экспоненциальной функции DISPLAYTITLE:C0 полугруппа В математике, C0-полугруппа, также известная как сильно непрерывная однопараметрическая полугруппа, является обобщением экспоненциальной функции. Подобно тому, как экспоненциальные функции предоставляют решения скалярных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, сильно непрерывные полугруппы предоставляют решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в пространствах Банаха. Такие дифференциальные уравнения в пространствах Банаха возникают, например, из уравнений с запаздыванием и уравнений в частных производных. Формально, сильно непрерывная полугруппа представляет собой отображение полугруппы (R+, +) на некоторое пространство Банаха X, непрерывное в сильной операторной топологии.

Полугруппа умножения

Рассмотрим пространство Банаха, наделенное нормой супремума. Пусть f — непрерывная функция с областью определения A. Оператор T с областью определения A является замкнутым, плотно определенным оператором и порождает полугруппу умножения {e^(tf)}, где t ≥ 0. Операторы умножения можно рассматривать как обобщение диагональных матриц на бесконечномерный случай, и многие свойства e^(tf) могут быть выведены из свойств f. Например, T ограничен на пространстве Банаха, если и только если f ограничена.

Переводческая полугруппа

Пусть – пространство ограниченных, равномерно непрерывных функций на , снабжённое супремум-нормой. (Левая) полугруппа сдвигов задаётся выражением
Её генератором является производная с областью определения .

Теоремы генерации

В связи с задачами Коши обычно задается линейный оператор А, и вопрос состоит в том, является ли он генератором сильно непрерывной полугруппы. Теоремы, дающие ответ на этот вопрос, называются теоремами о генерации. Полная характеристика операторов, порождающих экспоненциально ограниченные сильно непрерывные полугруппы, приводится теоремой Хилле — Ёсидой. Однако более практическое значение имеют гораздо более простые для проверки условия, сформулированные в теореме Люмера — Филлипса.

Однородные непрерывные полугруппы

Сильно непрерывная полугруппа T называется равномерно непрерывной, если отображение t → T(t) непрерывно от [0, ∞) в L(X). Генератор равномерно непрерывной полугруппы является ограниченным оператором.

Дифференцируемые полугруппы

Сильно непрерывная полугруппа T называется в конечном итоге дифференцируемой, если существует t0 > 0 такое, что T(t0)X ⊂ D(A) (эквивалентно: T(t)X ⊂ D(A) для всех t ≥ t0), и T называется немедленно дифференцируемой, если T(t)X ⊂ D(A) для всех t > 0. Каждая аналитическая полугруппа является немедленно дифференцируемой. Эквивалентная характеристика в терминах задач Коши следующая: сильно непрерывная полугруппа, порожденная A, в конечном итоге дифференцируема тогда и только тогда, когда существует t1 ≥ 0 такое, что для всех x ∈ X решение u абстрактной задачи Коши дифференцируемо на (t1, ∞). Полугруппа является немедленно дифференцируемой, если t1 можно выбрать равным нулю.

Компактные полугруппы

Сильно непрерывная полугруппа T называется в конечном итоге компактной, если существует t0 > 0 такое, что T(t0) является компактным оператором (эквивалентно, если T(t) является компактным оператором для всех t ≥ t0). Полугруппа называется немедленно компактной, если T(t) является компактным оператором для всех t > 0.

Нормальные непрерывные полугруппы

Сильно непрерывная полугруппа называется в конечном итоге непрерывной по норме, если существует t0 ≥ 0, такое что отображение t → T(t) непрерывно от (t0, ∞) в L(X). Полугруппа называется немедленно непрерывной по норме, если t0 можно выбрать равным нулю. Следует отметить, что для немедленно непрерывной по норме полугруппы отображение t → T(t) может быть не непрерывным в t = 0 (что сделало бы полугруппу равномерно непрерывной). Аналитические полугруппы, (в конечном итоге) дифференцируемые полугруппы и (в конечном итоге) компактные полугруппы являются в конечном итоге непрерывными по норме.