Введение

топологическое понятие
В математике, в частности в алгебраической топологии, цилиндр отображения непрерывной функции между топологическими пространствами X и Y является фактор-пространством

где ∨ обозначает дизъюнктное объединение, а ~ – отношение эквивалентности, порожденное

То есть, цилиндр отображения получается склеиванием одного конца цилиндра X × [0,1] с пространством Y посредством отображения f. Обратите внимание, что "верхняя" часть цилиндра гомеоморфна пространству X × {1}, а "нижняя" – пространству Y. Обычно пишут для X × [0,1], и используют обозначение MapCyl(f) или Cyl(f) для конструкции цилиндра отображения. То есть, пишут

где символ чашки с индексом обозначает отношение эквивалентности. Цилиндр отображения обычно используется для построения конуса отображения, получаемого сжатием одного конца цилиндра в точку. Цилиндры отображений играют центральную роль в определении кофибраций.

Приложения

Цилиндры отображений — довольно распространенный гомотопический инструмент. Одно из применений цилиндров отображений заключается в применении теорем, касающихся включений пространств, к общим отображениям, которые могут не быть инъективными. Следовательно, теоремы или методы (такие как гомология, кохомология или теория гомотопии), которые зависят только от класса гомотопии вовлеченных пространств и отображений, могут быть применены при условии, что и что является включением подпространства. Другая, более интуитивная привлекательность этой конструкции заключается в том, что она соответствует обычному представлению о функции как о "перемещающей" точки из в точки , и, следовательно, о вложении в , несмотря на то, что функция не обязана быть взаимно однозначной.

Категорическое применение и толкование

Можно использовать цилиндр отображения для построения гомотопических колимитов: это следует из общего утверждения, что любая категория, обладающая всеми выдвижениями и коэквалайзерами, обладает всеми колимитами. То есть, для данной диаграммы заменяют отображения на кофибрации (используя цилиндр отображения), а затем берут обычный поточечный предел (требуется некоторая осторожность, но цилиндры отображения являются важной частью построения). Обратно, цилиндр отображения является гомотопическим выдвижением диаграммы, где и .