Введение

Группа с субнормальным рядом, все факторы которого абелевы.

В математике, в частности в теории групп, разрешимая группа — это группа, которую можно построить из абелевых групп посредством расширений. Эквивалентно, разрешимая группа — это группа, производный ряд которой оканчивается тривиальной подгруппой.

Пример

Например, наименьшее расширение поля Галуа, содержащее элемент, дает разрешимую группу. Оно имеет связанные расширения поля, дающие разрешимую группу расширений Галуа, содержащую следующие факторы состава:
с групповым действием , и минимальный полином с групповым действием , и минимальный полином с групповым действием , и минимальный полином , содержащий пятые корни из единицы, исключая , с групповым действием , и минимальный полином , где – тождественная перестановка. Все определяющие групповые действия изменяют одно расширение, фиксируя все остальные. Например, элемент этой группы – это групповое действие. Общий элемент в группе может быть записан как , что дает в общей сложности 80 элементов. Стоит отметить, что эта группа сама не является абелевой. Например:

Фактически, в этой группе разрешимая группа изоморфна , определяемой с помощью полупрямого и прямого произведений циклических групп. В разрешимой группе не является нормальной подгруппой.

Абелевы группы

Основным примером разрешимых групп являются абелевы группы. Они тривиально разрешимы, так как субнормальный ряд строится просто из самой группы и тривиальной группы. Однако неабелевы группы могут быть разрешимыми, а могут и не быть.

Нилпотентные группы

В более общем смысле, все нильпотентные группы являются разрешимыми. В частности, конечные p-группы разрешимы, так как все конечные p-группы нильпотентны.

Квартернионные группы

В частности, группа кватернионов — это разрешимая группа, заданная расширением группы, где ядро является подгруппой, порожденной .

Расширения группы

Расширения групп являются прототипическими примерами разрешимых групп. То есть, если G и H – разрешимые группы, то любое расширение, определяемое ими, является разрешимой группой. Фактически, все разрешимые группы могут быть получены посредством таких расширений групп.

Неабелева группа, которая не является нилпотентной

Небольшим примером разрешимой, не нилпотентной группы является симметричная группа S3. Поскольку наименьшая простая неабелева группа — это A5 (альтернативная группа степени 5), следует, что любая группа порядка меньше 60 является разрешимой.

Конечные группы нечетного порядка

Теорема Фейта — Томпсона утверждает, что любая конечная группа нечётного порядка является разрешимой. В частности, это означает, что если конечная группа проста, то она либо циклическая простого порядка, либо имеет чётный порядок.

Непример

Группа S5 не разрешима — она имеет ряд композиций {E, A5, S5} (и теорема Жордана — Холдера утверждает, что любой другой ряд композиций эквивалентен этому), что дает фактор-группы, изоморфные A5 и C2; и A5 не является абелевой. Обобщая этот аргумент, в сочетании с тем фактом, что An является нормальной, максимальной, неабелевой простой подгруппой Sn при n > 4, мы заключаем, что Sn не разрешима при n > 4. Это ключевой шаг в доказательстве того, что для каждого n > 4 существуют многочлены степени n, которые нельзя решить в радикалах (теорема Абеля — Руффини). Это свойство также используется в теории сложности при доказательстве теоремы Баррингтона.

Подгруппы GL2

Рассмотрим подгруппы для некоторого поля. Тогда факторгруппу можно найти, беря произвольные элементы в , перемножая их и определяя, какую структуру это дает. Обратите внимание, что условие на определитель подразумевает , следовательно, является подгруппой (это матрицы, где ). Для фиксированного , линейное уравнение подразумевает , что это произвольный элемент в , поскольку мы можем взять любую матрицу в и умножить ее на матрицу с , чтобы получить диагональную матрицу в . Это показывает, что факторгруппа .

Замечание

Обратите внимание, что это описание дает разложение как , где действует на посредством . Это также подразумевает, что матрица вида соответствует элементу в группе.

Подгруппы борэля

Для линейной алгебраической группы, подгруппа Бореля определяется как подгруппа, которая замкнута, связна и разрешима в , и является максимально возможной подгруппой, обладающей этими свойствами (обратите внимание, что первые два являются топологическими свойствами). Например, в и группы верхнетреугольных или нижнетреугольных матриц являются двумя примерами подгрупп Бореля. Приведенный выше пример, подгруппа в , является подгруппой Бореля.

Подгруппа Бореля в произведении простых линейных алгебраических групп

В группе продуктов подгруппу Бореля можно представить матрицами вида, где – верхнетреугольная матрица, а – верхнетреугольная матрица.

Z-группы

Любая конечная группа, чьи p-силовы подгруппы являются циклическими, является полупрямым произведением двух циклических групп, и, в частности, разрешима. Такие группы называются Z-группами.

Теорема Бернсайд

Теорема Бернсайда утверждает, что если G — конечная группа порядка paqb, где p и q — простые числа, а a и b — неотрицательные целые числа, то G разрешима.

Виртуально разрешимые группы

Группа G называется виртуально разрешимой, если она имеет разрешимую подгруппу конечного индекса. Это аналогично виртуально абелевой группе. Очевидно, что все разрешимые группы являются виртуально разрешимыми, поскольку можно просто выбрать саму группу, индекс которой равен 1.

Гипоабел

Растворимой группой называется группа, производный ряд которой достигает тривиальной подгруппы на конечной стадии. Для бесконечной группы конечный производный ряд может не стабилизироваться, но трансконечный производный ряд всегда стабилизируется. Группа, чей трансконечный производный ряд достигает тривиальной группы, называется гипоабелевой группой, и любая растворимая группа является гипоабелевой группой. Первый ординал α, такой что G(α) = G(α+1), называется (трансфинитной) производной длиной группы G, и было показано, что любой ординал является производной длиной некоторой группы.

p-растворимый

Конечная группа называется p-разрешимой для некоторого простого числа p, если каждый фактор в ряду композиции является p-группой или имеет порядок, взаимно простой с p. Конечная группа разрешима тогда и только тогда, когда она p-разрешима для каждого p.