Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Поперечно изотропный материал – это материал, физические свойства которого симметричны относительно оси, перпендикулярной плоскости изотропии. Эта поперечная плоскость обладает бесконечным числом плоскостей симметрии, и, следовательно, в этой плоскости свойства материала одинаковы во всех направлениях. Поэтому такие материалы также называют "полярно анизотропными". В геофизике вертикально поперечная изотропия (ВТИ) также известна как радиальная анизотропия. Этот тип материала демонстрирует гексагональную симметрию (хотя технически это перестает быть верным для тензоров ранга 6 и выше), поэтому число независимых констант в тензоре упругости (четвертого ранга) уменьшается до 5 (вместо 21 независимой константы для полностью анизотропного твердого тела). Тензоры второго ранга, такие как электрическое сопротивление, проницаемость и другие, имеют две независимые константы.
A transversely isotropic material is one with physical properties that are symmetric about an axis that is normal to a plane of isotropy. This transverse plane has infinite planes of symmetry and thus, within this plane, the material properties are the same in all directions. Hence, such materials are also known as "polar anisotropic" materials. In geophysics, vertically transverse isotropy (VTI) is also known as radial anisotropy. This type of material exhibits hexagonal symmetry (though technically this ceases to be true for tensors of rank 6 and higher), so the number of independent constants in the (fourth rank) elasticity tensor are reduced to 5 (from a total of 21 independent constants in the case of a fully anisotropic solid). The (second rank) tensors of electrical resistivity, permeability, etc. have two independent constants.
Пример поперечно изотропных материалов
Примером поперечно-анизотропного материала является так называемая однонаправленная волокнистая композитная ламина, в которой волокна имеют круглое сечение. В однонаправленном композите плоскость, перпендикулярная направлению волокон, может рассматриваться как изотропная плоскость при больших длинах волн (низких частотах) возбуждения. На рисунке справа волокна выровнены вдоль оси, которая перпендикулярна плоскости изотропии. С точки зрения эффективных свойств, геологические слои горных пород часто интерпретируются как поперечно-анизотропные. Вычисление эффективных упругих свойств таких слоев в петрологии получило название апскейлинга Баккуса, который описан ниже.
An example of a transversely isotropic material is the so called on axis unidirectional fiber composite lamina where the fibers are circular in cross section. In a unidirectional composite, the plane normal to the fiber direction can be considered as the isotropic plane, at long wavelengths (low frequencies) of excitation. In the figure to the right, the fibers would be aligned with the axis, which is normal to the plane of isotropy. In terms of effective properties, geological layers of rocks are often interpreted as being transversely isotropic. Calculating the effective elastic properties of such layers in petrology has been coined Backus upscaling, which is described below.
Приближение короткой и средней длины волны
Решения задач распространения волн в линейных упругих поперечно изотропных средах могут быть построены путем суперпозиции решений для квази-P волны, квази-S волны и S волны, поляризованной ортогонально квази-S волне. Однако уравнения для углового изменения скорости алгебраически сложны, а скорости плоских волн являются функциями угла распространения. Направленно-зависимые скорости распространения упругих волн в материале можно найти, используя уравнение Кристофеля, и они задаются выражением
Solutions to wave propagation problems in linear elastic transversely isotropic media can be constructed by superposing solutions for the quasi P wave, the quasi S wave, and a S wave polarized orthogonal to the quasi S wave. However, the equations for the angular variation of velocity are algebraically complex and the plane wave velocities are functions of the propagation angle are. The direction dependent wave speeds for elastic waves through the material can be found by using the Christoffel equation and are given by
где – угол между осью симметрии и направлением распространения волны, – плотность массы, а – элементы матрицы упругой жесткости. Параметры Томсена используются для упрощения этих выражений и облегчения их понимания.
where is the angle between the axis of symmetry and the wave propagation direction, is mass density and the are elements of the elastic stiffness matrix. The Thomsen parameters are used to simplify these expressions and make them easier to understand.
Параметры Thomsen
Параметры Томсена — это безразмерные комбинации упругих модулей, характеризующие материалы с поперечной изотропией, которые, например, встречаются в геофизике. В терминах компонент матрицы упругой жёсткости эти параметры определяются как:
Thomsen parameters are dimensionless combinations of elastic moduli that characterize transversely isotropic materials, which are encountered, for example, in geophysics. In terms of the components of the elastic stiffness matrix, these parameters are defined as:
где индекс 3 указывает ось симметрии. Эти параметры, в сочетании со связанными скоростями продольных и поперечных волн, могут использоваться для характеристики распространения волн в слабоанизотропных слоистых средах. Эмпирически параметры Томсена для большинства слоистых горных пород значительно меньше 1. Название дано в честь Леона Томсена, профессора геофизики в Университете Хьюстона, который предложил эти параметры в своей статье 1986 года «Слабая упругая анизотропия».
where index 3 indicates the axis of symmetry These parameters, in conjunction with the associated P wave and S wave velocities, can be used to characterize wave propagation through weakly anisotropic, layered media. Empirically, the Thomsen parameters for most layered rock formations are much lower than 1. The name refers to Leon Thomsen, professor of geophysics at the University of Houston, who proposed these parameters in his 1986 paper "Weak Elastic Anisotropy".