Введение
В математике группа Ри — это группа типа Ли над конечным полем, построенная на основе исключительного автоморфизма диаграммы Динкина, который меняет направление кратных связей, обобщая группы Судзуки, найденные Судзуки другим способом. Они были последними из бесконечных семейств конечных простых групп, которые были открыты. В отличие от групп Штейнберга, группы Ри не задаются точками связной редуктивной алгебраической группы, определенной над конечным полем; другими словами, не существует "алгебраической группы Ри", связанной с группами Ри так же, как (например) унитарные группы связаны с группами Штейнберга. Однако существуют некоторые экзотические псевдоредуктивные алгебраические группы над неполонными полями, конструкция которых связана с построением групп Ри, поскольку они используют те же экзотические автоморфизмы диаграмм Динкина, которые изменяют длины корней. Ри определил группы Ри над бесконечными полями характеристик 2 и 3, а другие исследователи представили группы Ри бесконечномерных алгебр Каца — Муди.
Группы Шевалье, группы Штайнберга и группы Ри
Отношения между группами Шевалле, группой Штайнберга и группами Ри примерно следующие. Для заданной диаграммы Динкина X, Шевалле построил групповую схему над целыми числами Z, значения которой над конечными полями являются группами Шевалле. В общем случае можно рассмотреть фиксированные точки эндоморфизма α, где – алгебраическое замыкание конечного поля, такое что некоторая степень α совпадает с некоторой степенью эндоморфизма Фробениуса φ. Три случая таковы: для групп Шевалле, α = φⁿ для некоторого положительного целого числа n. В этом случае группа фиксированных точек также является группой точек X, определенных над конечным полем. Для групп Штайнберга, α = φᵐ для некоторых положительных целых чисел m и n, где m делит n и m > 1. В этом случае группа фиксированных точек также является группой точек скрученной (квазирасщепляемой) формы X, определенной над конечным полем. Для групп Ри, α = φᵐ для некоторых положительных целых чисел m и n, где m не делит n. На практике m=2 и n – нечетное число. Группы Ри не представляются как точки некоторой связной алгебраической группы с значениями в поле. Они являются фиксированными точками автоморфизма порядка m=2 группы, определенной над полем порядка pn, где n нечетно, и соответствующего поля порядка pn/2 не существует (хотя некоторые авторы предпочитают делать вид, что оно есть, в своих обозначениях для этих групп).
For Chevalley groups, for some positive integer n. In this case the group of fixed points is also the group of points of X defined over a finite field. For Steinberg groups, for some positive integers m, n with m dividing n and m > 1. In this case the group of fixed points is also the group of points of a twisted (quasisplit) form of X defined over a finite field. For Ree groups, for some positive integers m, n with m not dividing n. In practice m=2 and n is odd. Ree groups are not given as the points of some connected algebraic group with values in a field. they are the fixed points of an order m=2 automorphism of a group defined over a field of order pn with n odd, and there is no corresponding field of order pn/2 (although some authors like to pretend there is in their notation for the groups).
Группы резисторов типа 2В2
Группы Ри типа 2B2 были впервые найдены другим методом и обычно называются группами Сузуки. Ри заметил, что их можно построить из групп типа B2, используя модификацию своей конструкции. Ри понял, что аналогичная конструкция может быть применена к диаграммам Динкина F4 и G2, что привело к открытию двух новых семейств конечных простых групп.