Стягиваемость и локальная стягиваемость топологических пространств
Contractible space
Контрактируемое пространство в топологии: определение, свойства и локальная контрактируемость. Объяснение понятия с точки зрения математики и геометрии.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В математике топологическое пространство X называется стягиваемым, если тождественное отображение на X гомотопно нулю, то есть гомотопно некоторой постоянной функции. Интуитивно, стягиваемое пространство – это пространство, которое можно непрерывно стянуть в точку, лежащую в этом пространстве.
In mathematics, a topological space X is contractible if the identity map on X is null homotopic, i. e. if it is homotopic to some constant map. Intuitively, a contractible space is one that can be continuously shrunk to a point within that space.
Местные сокращаемые пространства
Топологическое пространство X локально стягиваемо в точке x, если для любого окрестности U точки x существует окрестность V точки x, содержащаяся в U, такая что включение V гомотопически тривиально в U. Пространство называется локально стягиваемым, если оно локально стягиваемо в каждой точке. Это определение иногда называют "локально стягиваемым с точки зрения геометрической топологии", хотя это наиболее распространенное употребление термина. В стандартном учебнике Хэтчера "Алгебраическая топология" это определение называется "слабо локально стягиваемым", хотя этот термин имеет и другие значения. Если каждая точка имеет локальную базу стягиваемых окрестностей, то говорят, что X сильно локально стягиваемо. Стягиваемые пространства не обязательно локально стягиваемы, и наоборот. Например, пространство-гребень стягиваемо, но не локально стягиваемо (если бы оно было локально стягиваемым, то оно было бы локально связным, что неверно). Локально стягиваемые пространства локально n-связны для всех n ≥ 0. В частности, они локально односвязны, локально путь-связны и локально связны. Окружность (сильно) локально стягиваема, но не стягиваема. Сильная локальная стягиваемость является строго более сильным свойством, чем локальная стягиваемость; контрпримеры сложны, первый из которых был приведен Борсуком и Мазуркевичем в их статье Sur les rétractes absolus indécomposables, C. R. Acad. Sci. Paris 199 (1934), 110–112. Существуют разногласия относительно того, какое определение является "стандартным" определением локальной стягиваемости; первое определение чаще используется в геометрической топологии, особенно в историческом контексте, в то время как второе определение лучше соответствует типичному употреблению термина "локальный" по отношению к топологическим свойствам. При интерпретации результатов, касающихся этих свойств, следует всегда проявлять осторожность в отношении используемых определений.
A topological space X is locally contractible at a point x if for every neighborhood U of x there is a neighborhood V of x contained in U such that the inclusion of V is nulhomotopic in U. A space is locally contractible if it is locally contractible at every point. This definition is occasionally referred to as the "geometric topologist's locally contractible," though is the most common usage of the term. In Hatcher's standard Algebraic Topology text, this definition is referred to as "weakly locally contractible," though that term has other uses. If every point has a local base of contractible neighborhoods, then we say that X is strongly locally contractible. Contractible spaces are not necessarily locally contractible nor vice versa. For example, the comb space is contractible but not locally contractible (if it were, it would be locally connected which it is not). Locally contractible spaces are locally n connected for all n ≥ 0. In particular, they are locally simply connected, locally path connected, and locally connected. The circle is (strongly) locally contractible but not contractible. Strong local contractibility is a strictly stronger property than local contractibility; the counterexamples are sophisticated, the first being given by Borsuk and Mazurkiewicz in their paper Sur les rétractes absolus indécomposables, C. R Acad. Sci. Paris 199 (1934), 110 112). There is some disagreement about which definition is the "standard" definition of local contractibility; the first definition is more commonly used in geometric topology, especially historically, whereas the second definition fits better with the typical usage of the term "local" with respect to topological properties. Care should always be taken regarding the definitions when interpreting results about these properties.
Примеры и контрпримеры
Любое евклидово пространство стягиваемо, как и любое звездное множество на евклидовом пространстве. Коллектор Уайтхеда стягиваем. Сферы любой конечной размерности не стягиваемы. Единичная сфера в бесконечномерном гильбертовом пространстве стягиваема. Дом с двумя комнатами — стандартный пример пространства, которое стягиваемо, но не интуитивно очевидно. Шапка Данса стягиваема, но не схлопываема. Конус над гавайской сережкой стягиваем (поскольку это конус), но не локально стягиваем и даже не локально односвязен. Все многообразия и CW-комплексы локально стягиваемы, но в общем случае не стягиваемы. Варшавский круг получается "замыканием" синусоиды тополога дугой, соединяющей точки (0, −1) и (1, sin(1)). Это одномерный континуум, чьи гомотопические группы все тривиальны, но он не стягиваем.
Any Euclidean space is contractible, as is any star domain on a Euclidean space. The Whitehead manifold is contractible. Spheres of any finite dimension are not contractible. The unit sphere in an infinite dimensional Hilbert space is contractible. The house with two rooms is a standard example of a space which is contractible, but not intuitively so. The Dunce hat is contractible, but not collapsible. The cone on a Hawaiian earring is contractible (since it is a cone), but not locally contractible or even locally simply connected. All manifolds and CW complexes are locally contractible, but in general not contractible. The Warsaw circle is obtained by "closing up" the topologist's sine curve by an arc connecting (0,−1) and (1,sin(1)). It is a one dimensional continuum whose homotopy groups are all trivial, but it is not contractible.