Введение
Обобщение якобиева многообразия
В математике, албанезеево многообразие, названное в честь Джакомо Албанезе, является обобщением якобиева многообразия кривой.
In mathematics, the Albanese variety , named for Giacomo Albanese, is a generalization of the Jacobian variety of a curve.
Точные сведения
Албанезева разновидность — это абелева разновидность, порожденная разновидностью, отображающей данную точку в единичный элемент. Иными словами, существует морфизм из данной разновидности в её албанезеву разновидность, такой что любой морфизм из в абелеву разновидность (отображающий данную точку в единичный элемент) однозначно факторизуется через этот морфизм. Для комплексных многообразий албанезева разновидность определяется аналогичным образом, как морфизм из в тор, такой что любой морфизм в тор однозначно факторизуется через это отображение. (В этом случае это аналитическое многообразие, не обязательно алгебраическое.)
Свойства
Для компактных кэлеровых многообразий размерность албанского многообразия равна числу Ходжа, размерности пространства дифференциалов первого рода, которое для поверхностей называется ненормáльностью поверхности. В терминах дифференциальных форм любая голоморфная 1-форма на является прообразом трансляционно-инвариантной 1-формы на албанском многообразии, происходящей из голоморфного котангенциального пространства в его единичном элементе. Подобно случаю кривой, выбором базовой точки на (от которой производится "интегрирование") определяется албанский морфизм, вдоль которого 1-формы переносятся обратным образом. Этот морфизм уникален с точностью до сдвига на албанском многообразии. Для многообразий над полями положительной характеристики размерность албанского многообразия может быть меньше чисел Ходжа и (которые не обязаны быть равными). Чтобы увидеть это, заметим, что албанское многообразие дуально многообразию Пикара, тангенциальное пространство которого в единичной точке задается . Это результат Дзюнъити Игусы, указанный в библиографии.
is defined, along which the 1 forms pull back. This morphism is unique up to a translation on the Albanese variety. For varieties over fields of positive characteristic, the dimension of the Albanese variety may be less than the Hodge numbers and (which need not be equal). To see the former note that the Albanese variety is dual to the Picard variety, whose tangent space at the identity is given by That is a result of Jun ichi Igusa in the bibliography.