Введение
Концепция решения линейных частных дифференциальных уравнений
In mathematics, a fundamental solution for a linear partial differential operator L is a formulation in the language of distribution theory of the older idea of a Green's function (although unlike Green's functions, fundamental solutions do not address boundary conditions). In terms of the Dirac delta "function" δ(x), a fundamental solution F is a solution of the inhomogeneous equation
Here F is a priori only assumed to be a distribution. This concept has long been utilized for the Laplacian in two and three dimensions. It was investigated for all dimensions for the Laplacian by Marcel Riesz. The existence of a fundamental solution for any operator with constant coefficients — the most important case, directly linked to the possibility of using convolution to solve an arbitrary right hand side — was shown by Bernard Malgrange and Leon Ehrenpreis. In the context of functional analysis, fundamental solutions are usually developed via the Fredholm alternative and explored in Fredholm theory.
В математике фундаментальное решение для линейного частного дифференциального оператора L представляет собой формулировку на языке теории распределений более ранней идеи функции Грина (хотя, в отличие от функций Грина, фундаментальные решения не учитывают граничные условия). В терминах "функции" дельта Дирака δ(x), фундаментальное решение F является решением неоднородного уравнения. Здесь F априори предполагается лишь распределением. Эта концепция давно используется для лапласиана в двух и трех измерениях. Марсель Рис исследовал её для всех размерностей в случае лапласиана. Бернар Малгранж и Леон Эренпрейс показали существование фундаментального решения для любого оператора с постоянными коэффициентами – наиболее важного случая, напрямую связанного с возможностью использования свертки для решения произвольной правой части. В контексте функционального анализа фундаментальные решения обычно разрабатываются посредством альтернативы Фредгольма и исследуются в теории Фредгольма.
In mathematics, a fundamental solution for a linear partial differential operator L is a formulation in the language of distribution theory of the older idea of a Green's function (although unlike Green's functions, fundamental solutions do not address boundary conditions). In terms of the Dirac delta "function" δ(x), a fundamental solution F is a solution of the inhomogeneous equation
Here F is a priori only assumed to be a distribution. This concept has long been utilized for the Laplacian in two and three dimensions. It was investigated for all dimensions for the Laplacian by Marcel Riesz. The existence of a fundamental solution for any operator with constant coefficients — the most important case, directly linked to the possibility of using convolution to solve an arbitrary right hand side — was shown by Bernard Malgrange and Leon Ehrenpreis. In the context of functional analysis, fundamental solutions are usually developed via the Fredholm alternative and explored in Fredholm theory.
Мотивация
После того, как фундаментальное решение найдено, просто найти решение исходного уравнения посредством свертки фундаментального решения и заданной правой части. Фундаментальные решения также играют важную роль в численном решении уравнений в частных производных методом граничных элементов.
Пример, который более явно работает
где I — характеристическая функция единичного интервала. В этом случае можно проверить, что свертка I с функцией равна
которая является решением, то есть имеет вторую производную, равную I.
Обработка сигналов
В обработке сигналов аналогом фундаментального решения дифференциального уравнения называют импульсную характеристику фильтра.