Нелинейные фильтры в обработке сигналов: принципы и применение.

Введение

В обработке сигналов нелинейный (или нелинейный) фильтр — это фильтр, выход которого не является линейной функцией его входа. То есть, если фильтр выдает сигналы R и S для двух входных сигналов r и s по отдельности, он не всегда выдает αR + βS, когда на вход подается линейная комбинация αr + βs. Нелинейными могут быть как фильтры в непрерывной области, так и фильтры в дискретной области. Простым примером первого может служить электрическое устройство, выходное напряжение которого R(t) в любой момент времени является квадратом входного напряжения r(t); или вход, ограниченный фиксированным диапазоном [a, b], то есть R(t) = max(a, min(b, r(t))). Важным примером последнего является скользящий медианный фильтр, в котором каждый выходной отсчет Ri является медианой последних трех входных отсчетов ri, ri−1, ri−2. Как и линейные фильтры, нелинейные фильтры могут быть сдвигоинвариантными или не сдвигоинвариантными. Нелинейные фильтры имеют множество применений, особенно в устранении определенных типов шума, которые не являются аддитивными. Например, медианный фильтр широко используется для удаления импульсного шума, который затрагивает лишь небольшой процент отсчетов, возможно, с очень большой амплитудой. Фактически, все радиоприемники используют нелинейные фильтры для преобразования сигналов от килогерц до гигагерц в звуковой диапазон частот; и вся цифровая обработка сигналов зависит от нелинейных фильтров (аналого-цифровых преобразователей) для преобразования аналоговых сигналов в двоичные числа. Однако нелинейные фильтры значительно сложнее в использовании и проектировании, чем линейные, поскольку к ним нельзя применить наиболее мощные математические инструменты анализа сигналов (такие как импульсная характеристика и частотная характеристика). Таким образом, например, линейные фильтры часто используются для удаления шума и искажений, созданных нелинейными процессами, просто потому, что разработать и построить подходящий нелинейный фильтр было бы слишком сложно. Из вышесказанного следует, что поведение нелинейных фильтров существенно отличается от поведения линейных фильтров. Наиболее важная характеристика заключается в том, что для нелинейных фильтров выход фильтра или отклик фильтра не подчиняется принципам, изложенным ранее, в частности, принципам масштабирования и сдвиговой инвариантности. Кроме того, нелинейный фильтр может выдавать результаты, которые изменяются неинтуитивным образом.

In signal processing, a nonlinear (or non linear) filter is a filter whose output is not a linear function of its input. That is, if the filter outputs signals R and S for two input signals r and s separately, but does not always output αR + βS when the input is a linear combination αr + βs. Both continuous domain and discrete domain filters may be nonlinear. A simple example of the former would be an electrical device whose output voltage R(t) at any moment is the square of the input voltage r(t); or which is the input clipped to a fixed range [a,b], namely R(t) = max(a, min(b, r(t))). An important example of the latter is the running median filter, such that every output sample Ri is the median of the last three input samples ri, ri−1, ri−2. Like linear filters, nonlinear filters may be shift invariant or not. Non linear filters have many applications, especially in the removal of certain types of noise that are not additive. For example, the median filter is widely used to remove spike noise — that affects only a small percentage of the samples, possibly by very large amounts. Indeed, all radio receivers use non linear filters to convert kilo to gigahertz signals to the audio frequency range; and all digital signal processing depends on non linear filters (analog to digital converters) to transform analog signals to binary numbers. However, nonlinear filters are considerably harder to use and design than linear ones, because the most powerful mathematical tools of signal analysis (such as the impulse response and the frequency response) cannot be used on them. Thus, for example, linear filters are often used to remove noise and distortion that was created by nonlinear processes, simply because the proper non linear filter would be too hard to design and construct. From the foregoing, we can know that the nonlinear filters have quite different behavior compared to linear filters. The most important characteristic is that, for nonlinear filters, the filter output or response of the filter does not obey the principles outlined earlier, particularly scaling and shift invariance. Furthermore, a nonlinear filter can produce results that vary in a non intuitive manner.

Линейная система

Несколько принципов определяют линейную систему. Основное определение линейности заключается в том, что выход должен быть линейной функцией от входов, то есть

для любых скалярных значений и . Это фундаментальное свойство при проектировании линейных систем, известное как принцип суперпозиции. Следовательно, система считается нелинейной, если это уравнение не выполняется. Иными словами, принцип суперпозиции применим, когда система линейна. Этот важный факт является причиной того, что методы анализа линейных систем получили такое широкое развитие.

Фильтрация Кушнера-Стратоновича

Контекст здесь – формулировка задачи нелинейной фильтрации, рассматриваемая в рамках теории стохастических процессов. В этом контексте как случайный сигнал, так и зашумленные частные наблюдения описываются непрерывными стохастическими процессами во времени. Ненаблюдаемый случайный сигнал, подлежащий оценке, моделируется нелинейным стохастическим дифференциальным уравнением Ито, а функция наблюдения представляет собой непрерывное нелинейное преобразование ненаблюдаемого сигнала во времени, наблюдение, искаженное непрерывным шумом наблюдения. Учитывая нелинейный характер динамики, привычные частотные концепции, применимые к линейным фильтрам, оказываются непригодными, и формулируется теория, основанная на представлении пространства состояний. Полная информация о нелинейном фильтре в данный момент времени – это закон распределения вероятностей ненаблюдаемого сигнала в этот момент времени, обусловленный историей наблюдений до этого момента. Этот закон может иметь плотность, и бесконечномерное уравнение для плотности этого закона принимает вид стохастического дифференциального уравнения в частных производных (SPDE). Задача оптимальной нелинейной фильтрации в этом контексте была решена в конце 1950-х – начале 1960-х годов Русланом Л. Стратоновичем и Гарольдом Дж. Кушнером. SPDE оптимального фильтра называется уравнением Кушнера – Стратоновича. В 1969 году Моше Закай предложил упрощенную динамику для ненормированного условного закона фильтра, известную как уравнение Закая. Мирель Шалеят-Маурель и Доминик Мишель доказали, что решение в общем случае бесконечномерно, и, следовательно, требует конечномерных приближений. Это могут быть эвристические подходы, такие как расширенный фильтр Калмана или фильтры предполагаемой плотности, описанные Питером С. Маббиком, или проекционные фильтры, предложенные Дамиано Бриго, Бернардом Ханзоном и Франсуа Ле Гландом, некоторые подсемейства которых совпадают с фильтрами предполагаемой плотности. Фильтры частиц – еще один вариант, связанный с последовательными методами Монте-Карло.

The context here is the formulation of the nonlinear filtering problem seen through the lens of the theory of stochastic processes. In this context, both the random signal and the noisy partial observations are described by continuous time stochastic processes. The unobserved random signal to be estimated is modeled through a non linear Ito stochastic differential equation and the observation function is a continuous time non linear transformation of the unobserved signal, an observation perturbed by continuous time observation noise. Given the nonlinear nature of the dynamics, familiar frequency domain concepts that can be applied to linear filters are not viable, and a theory based on the state space representation is formulated. The complete information on the nonlinear filter at a given time is the probability law of the unobserved signal at that time conditional on the history of observations up to that time. This law may have a density, and the infinite dimensional equation for the density of this law takes the form of a stochastic partial differential equation (SPDE). The problem of optimal nonlinear filtering in this context was solved in the late 1950s and early 1960s by Ruslan L. Stratonovich and Harold J. Kushner. The optimal filter SPDE is called Kushner Stratonovich equation. In 1969, Moshe Zakai introduced a simplified dynamics for the unnormalized conditional law of the filter known as Zakai equation. It has been proved by Mireille Chaleyat Maurel and Dominique Michel that the solution is infinite dimensional in general, and as such requires finite dimensional approximations. These may be heuristics based such as the extended Kalman filter or the assumed density filters described by Peter S. Maybeck or the projection filters introduced by Damiano Brigo, Bernard Hanzon and François Le Gland, some sub families of which are shown to coincide with the assumed density filters. Particle filters are another option, related to sequential Monte Carlo methods.

Фильтры для передачи энергии

Фильтры передачи энергии — это класс нелинейных динамических фильтров, способных перераспределять энергию заданным образом. Энергию можно перенаправить в более высокие или более низкие частотные диапазоны, рассеять в пределах заданного диапазона или сфокусировать. Существует множество конструкций фильтров передачи энергии, которые предоставляют дополнительные степени свободы при проектировании, недоступные в линейных схемах.

Минимальный фильтр

Минимальный фильтр, также известный как эрозия в морфологической обработке изображений, — это фильтр, работающий в пространственной области и используемый для обработки изображений. Он заменяет каждый пиксель изображения минимальным значением среди его соседних пикселей. Размер и форма окрестности определяются структурирующим элементом, обычно представляющим собой квадратную или круглую маску. Преобразование заменяет центральный пиксель самым темным в рассматриваемом окне. Например, если у вас есть текст, напечатанный светло, минимальный фильтр сделает буквы более толстыми.

Максимальный фильтр

Максимальный фильтр, также известный как дилатация в морфологической обработке изображений, — это еще один пространственный фильтр, используемый для обработки изображений. Он заменяет каждый пиксель изображения максимальным значением среди его соседних пикселей, определяемых структурным элементом. Максимальные и минимальные фильтры инвариантны к сдвигу. В то время как минимальный фильтр заменяет центральный пиксель самым темным пикселем в окрестности, максимальный фильтр заменяет его самым светлым. Например, если у вас есть текстовая строка, нарисованная толстой ручкой, вы можете сделать ее более тонкой.