Введение

В алгебраической геометрии размерность Кодайры κ(X) измеряет размер канонической модели проективного многообразия X.

Игорь Шафаревич на семинаре ввёл важный численный инвариант поверхностей, обозначенный как κ. Шигеру Иитака обобщил его и определил размерность Кодайры для многообразий более высокой размерности (под названием канонической размерности), а затем назвал её в честь Кунихико Кодайры.

Интерпретация измерения Кодайра

Следующие целые числа равны, если они неотрицательны. Хорошей ссылкой является теорема 2.1.33. Размерность конструкции Proj, проективного многообразия, называемого канонической моделью X, зависит только от бирационального эквивалентного класса X. (Это определяется только в том случае, если каноническое кольцо конечно порождено, что верно в характеристике ноль и предполагается в общем случае.) Размерность образа d-кратного канонического отображения для всех положительных кратных d некоторого положительного целого числа. Степень трансцендентности поля частных R, минус один; то есть, где t – число алгебраически независимых образующих, которые можно найти. Скорость роста плюригенера: то есть, наименьшее число κ, такое что ограничено. В нотации «Большое О» это минимальное κ, такое что когда одно из этих чисел не определено или отрицательно, то все они таковы. В этом случае размерность Кодайры считается отрицательной или, по некоторым историческим определениям, равной −1, но тогда формула не всегда выполняется, и формулировка гипотезы Иитаки становится сложнее. Например, размерность Кодайры для всех многообразий X равна .

Применение

Размер Кодайры дает полезное грубое разделение всех алгебраических многообразий на несколько классов. Многообразия с низким размером Кодайры можно считать специальными, а многообразия с максимальным размером Кодайры относят к общему типу. Геометрически существует очень приблизительное соответствие между размером Кодайры и кривизной: отрицательный размер Кодайры соответствует положительной кривизне, нулевой размер Кодайры – плоскостности, а максимальный размер Кодайры (общий тип) – отрицательной кривизне. Специальность многообразий с низким размером Кодайры аналогична специальности римановых многообразий с положительной кривизной (а общий тип соответствует типичности не положительной кривизны); см. классические теоремы, особенно о зажатой сечной кривизне и положительной кривизне. Эти утверждения будут уточнены ниже.

Применение к классификации

Пусть X – многообразие неотрицательной размерности Кодайры над полем характеристики ноль, и пусть B – каноническая модель X, B = Proj R(X, KX); размерность B равна размерности Кодайры X. Существует естественное рациональное отображение X – → B; любой морфизм, полученный из него путем прорыва X и B, называется фибрацией Иитаки. Гипотезы о минимальных моделях и обилии предполагают, что общее волокно фибрации Иитаки можно устроить так, чтобы оно было многообразием Калаби–Яу, которое, в частности, имеет размерность Кодайры ноль. Кроме того, существует эффективный Q-делитель Δ на B (не единственный), такой что пара (B, Δ) является klt, KB + Δ является ample, а каноническое кольцо X совпадает с каноническим кольцом (B, Δ) в степенях, кратных некоторому d > 0. В этом смысле X раскладывается на семейство многообразий размерности Кодайры ноль над основанием (B, Δ) общего типа. (Обратите внимание, что само многообразие B не обязательно должно быть общего типа. Например, существуют поверхности размерности Кодайры 1, для которых фибрация Иитаки является эллиптической фибрацией над P1.) Принимая во внимание упомянутые гипотезы, классификация алгебраических многообразий в значительной степени сводится к случаям размерности Кодайры , 0 и общего типа. Для размерности Кодайры и 0 существуют некоторые подходы к классификации. Гипотезы о минимальных моделях и обилии предполагают, что каждое многообразие размерности Кодайры является унирульным, и известно, что каждое унирульное многообразие в характеристике ноль бирационально пространству волокон Фано. Гипотезы о минимальных моделях и обилии предполагают, что каждое многообразие размерности Кодайры 0 является бирациональным многообразию Калаби–Яу с терминальными сингулярностями. Гипотеза Иитаки утверждает, что размерность Кодайры волокна не меньше суммы размерности Кодайры основания и размерности Кодайры общего волокна; см. для обзора. Гипотеза Иитаки способствовала развитию теории минимальных моделей в 1970-х и 1980-х годах. В настоящее время она известна во многих случаях и в общем виде следует из гипотез о минимальных моделях и обилии.

Отношение к коллекторам Моишезона

Накамура и Уэно доказали следующую формулу аддитивности для комплексных многообразий. Хотя базовое пространство не требуется быть алгебраическим, предположение об изоморфности всех волокон является весьма специфичным. Даже при этом предположении формула может не выполняться, если волокно не является многообразием Мойшезона. Пусть π: V → W — аналитическое расслоение компактных комплексных многообразий, то есть π локально является произведением (и, следовательно, все волокна изоморфны как комплексные многообразия). Предположим, что волокно F является многообразием Мойшезона. Тогда