Шульба-сутры: Древнеиндийская геометрия и ритуальные алтари огня

Введение

Шульва-сутры или Śулбасутры (санскрит: शुल्बसूत्र; śulba: "веревка, шнур, тетива") – это тексты сутр, относящиеся к ритуалу Шраута и содержащие геометрические сведения, связанные со строительством жертвенного очага.

Цель и истоки

Шульба-сутры являются частью более крупного корпуса текстов, называемых Шраута-сутрами, которые считаются приложениями к Ведам. Они – единственный источник знаний об индийской математике ведийского периода. Уникальные формы огненных алтарей соотносились с уникальными дарами богов. Например, "желающий рая должен построить огненный алтарь в форме сокола"; "огневой алтарь в форме черепахи должен построить тот, кто желает завоевать мир Брахмана", и "те, кто желает уничтожить существующих и будущих врагов, должны построить огненный алтарь в форме ромба". Четыре основные Шульба-сутры, наиболее значимые с математической точки зрения, приписываются Бадхаяне, Манаве, Апастамбе и Катьяяне. Их язык – поздний ведический санскрит, что указывает на составление примерно в I тысячелетии до н.э. По словам Плофкера, Катьяяна была составлена после "великой грамматической кодификации санскрита Панини, вероятно, в середине IV века до н.э.", но Манаву она относит к тому же периоду, что и Баудхаяну. Относительно состава ведических текстов Плофкер пишет: "Ведическое почитание санскрита как священной речи, чьи божественно откровенные тексты предназначались для декламации, слушания и запоминания, а не для письменной передачи, способствовало формированию санскритской литературы в целом. Поэтому тексты составлялись в форматах, которые легко запоминались: либо в виде сжатых прозаических афоризмов (сутр, слово, позже применявшееся для обозначения правила или алгоритма в целом), либо в стихах, особенно в классический период. Естественно, легкость запоминания иногда мешала пониманию. В результате большинство трактатов дополнялись одним или несколькими прозаическими комментариями. Существуют многочисленные комментарии к каждой из Шульба-сутр, но они были написаны спустя долгое время после создания оригинальных работ. Комментарий Сундарараджи к Апастамбе, например, датируется концом XV века н.э., а комментарий Двараканатхи к Баудхаяне, по-видимому, заимствует материал из труда Сундарараджи. По мнению Стаала, определенные аспекты традиции, описанной в Шульба-сутрах, передавались "устно", и он указывает на места в Южной Индии, где ритуал огненного алтаря все еще практикуется и сохраняется устная традиция. Однако традиция огненных алтарей в Индии в значительной степени угасла, и Плофкер предупреждает, что сохранившиеся очаги этой практики могут отражать более позднее возрождение ведизма, а не непрерывную традицию. Содержание Шульба-сутр, вероятно, старше самих текстов. Сатапатха-брахмана и Тайттирия-самхита, содержание которых датируется концом II тысячелетия или началом I тысячелетия до н.э., описывают алтари, размеры которых, по-видимому, основаны на прямоугольном треугольнике с катетами 15 пада и 36 пада – одном из треугольников, перечисленных в Баудхаяна-шульба-сутре. Несколько математиков и историков упоминают, что самые ранние тексты были написаны начиная с 800 г. до н.э. ведийскими индусами на основе компиляций устной традиции, восходящей к 2000 г. до н.э. Возможно, как предполагает Гупта, геометрия была разработана для удовлетворения потребностей ритуала. Некоторые ученые идут дальше: Стаал выдвигает гипотезу об общем ритуальном происхождении индийской и греческой геометрии, ссылаясь на схожий интерес и подход к удвоению и другим геометрическим преобразованиям. Зейденберг, за которым последовал ван дер Варден, рассматривает ритуал как более широкое происхождение математики, постулируя, что основные достижения, такие как открытие теоремы Пифагора, произошли только в одном месте и распространились оттуда по всему миру. Ван дер Варден отмечает, что автор Шульба-сутр существовал до 600 г. до н.э. и не мог находиться под влиянием греческой геометрии. В то время как Бойер упоминает древневавилонскую математику (ок. 2000–1600 гг. до н.э.) как возможное происхождение, он также утверждает, что Шульба-сутры содержат формулу, не встречающуюся в вавилонских источниках. Зейденберг утверждает, что либо "древняя Вавилония получила теорему Пифагора из Индии, либо древняя Вавилония и Индия получили ее из третьего источника". Зейденберг предполагает, что этот источник мог быть шумерским и предшествовать 1700 г. до н.э. В отличие от этого, Пингри предостерегает, что "было бы ошибкой видеть в работах [строителей алтарей] уникальное происхождение геометрии; другие, в Индии и в других местах, могли продвинуться так же далеко в ответ на практические или теоретические проблемы, не зафиксировав свои решения в памяти или в рукописях". Плофкер также допускает возможность того, что "существующие геометрические знания [были] сознательно включены в ритуальную практику".

The Shulba Sutras are part of the larger corpus of texts called the Shrauta Sutras, considered to be appendices to the Vedas. They are the only sources of knowledge of Indian mathematics from the Vedic period. Unique fire altar shapes were associated with unique gifts from the Gods. For instance, "he who desires heaven is to construct a fire altar in the form of a falcon"; "a fire altar in the form of a tortoise is to be constructed by one desiring to win the world of Brahman" and "those who wish to destroy existing and future enemies should construct a fire altar in the form of a rhombus". The four major Shulba Sutras, which are mathematically the most significant, are those attributed to Baudhayana, Manava, Apastamba and Katyayana. Their language is late Vedic Sanskrit, pointing to a composition roughly during the 1st millennium BCE. According to Plofker, the Katyayana was composed after "the great grammatical codification of Sanskrit by Pāṇini in probably the mid fourth century BCE", but she places the Manava in the same period as the Baudhayana. With regard to the composition of Vedic texts, Plofker writes,The Vedic veneration of Sanskrit as a sacred speech, whose divinely revealed texts were meant to be recited, heard, and memorized rather than transmitted in writing, helped shape Sanskrit literature in general. Thus texts were composed in formats that could be easily memorized: either condensed prose aphorisms (sūtras, a word later applied to mean a rule or algorithm in general) or verse, particularly in the Classical period. Naturally, ease of memorization sometimes interfered with ease of comprehension. As a result, most treatises were supplemented by one or more prose commentaries " There are multiple commentaries for each of the Shulba Sutras, but these were written long after the original works. The commentary of Sundararāja on the Apastamba, for example, comes from the late 15th century CE and the commentary of Dvārakãnātha on the Baudhayana appears to borrow from Sundararāja. According to Staal, certain aspects of the tradition described in the Shulba Sutras would have been "transmitted orally", and he points to places in southern India where the fire altar ritual is still practiced and an oral tradition preserved. The fire altar tradition largely died out in India, however, and Plofker warns that those pockets where the practice remains may reflect a later Vedic revival rather than an unbroken tradition. The content of the Shulba Sutras is likely older than the works themselves. The Satapatha Brahmana and the Taittiriya Samhita, whose contents date to the late second millennium or early first millennium BCE, describe altars whose dimensions appear to be based on the right triangle with legs of 15 pada and 36 pada, one of the triangles listed in the Baudhayana Shulba Sutra. Several Mathematicians and Historians mention that the earliest of the texts were written beginning in 800 BCE by Vedic Hindus based on compilations of an oral tradition dating back to 2000 BCE. It is possible, as proposed by Gupta, that the geometry was developed to meet the needs of ritual. Some scholars go farther: Staal hypothesizes a common ritual origin for Indian and Greek geometry, citing similar interest and approach to doubling and other geometric transformation problems. Seidenberg, followed by van der Waerden, sees a ritual origin for mathematics more broadly, postulating that the major advances, such as discovery of the Pythagorean theorem, occurred in only one place, and diffused from there to the rest of the world. Van der Waerden mentions that author of Sulbha sutras existed before 600 BCE and could not have been influenced by Greek geometry. While Boyer mentions Old Babylonian mathematics (c. 2000 BCE–1600 BCE) as a possible origin, however also states that Shulba sutras contain a formula not found in Babylon sources. Seidenberg argues that either "Old Babylonia got the theorem of Pythagoras from India or that Old Babylonia and India got it from a third source". Seidenberg suggests that this source might be Sumerian and may predate 1700 BC. In contrast, Pingree cautions that "it would be a mistake to see in [the altar builders'] works the unique origin of geometry; others in India and elsewhere, whether in response to practical or theoretical problems, may well have advanced as far without their solutions having been committed to memory or eventually transcribed in manuscripts." Plofker also raises the possibility that "existing geometric knowledge [was] consciously incorporated into ritual practice".

Квадратные корни

Строительство алтарей также привело к оценке квадратного корня из 2, как это встречается в трех сутрах. В сутре Бадхаяна это выглядит следующим образом: 2.12. Мера должна быть увеличена на треть, а эта треть – снова на свою четвертую часть, уменьшенную на тридцать четвертую часть [этой четвертой части]; это [значение] диагонали квадрата [с длиной стороны, равной мере]. Действительно, ранний метод вычисления квадратных корней можно найти в некоторых Сутрах, и этот метод включает рекурсивную формулу для больших значений x, основанную на нерекурсивном тождестве для значений r, крайне малых относительно a. Также было предположено, например, Бюрком, что такое приближение к √2 подразумевает знание иррациональности √2. В своем переводе «Начал» Евклида Хит описывает ряд этапов, необходимых для признания открытия иррациональности, и отмечает отсутствие свидетельств того, что индийская математика достигла этих этапов в эпоху Шульба-сутр.