Категория гомотопий в математике

Введение

Понятие в математике
В математике категория гомотопий — это категория, построенная на основе категории топологических пространств, которая, в некотором смысле, отождествляет два пространства, имеющие одинаковую форму. Этот термин фактически используется для обозначения двух различных (но связанных) категорий, о которых пойдет речь ниже. В более общем случае, вместо того чтобы начинать с категории топологических пространств, можно начать с любой модельной категории и определить связанную с ней категорию гомотопий, используя конструкцию, предложенную Квилленом в 1967 году. Таким образом, теория гомотопий может быть применена ко многим другим категориям в геометрии и алгебре.

Наивная категория гомотопии

Категория топологических пространств Top имеет топологические пространства в качестве объектов и непрерывные отображения между ними в качестве морфизмов. Более старое определение категории гомотопий hTop, называемое в данной статье наивной категорией гомотопий для ясности, имеет те же объекты, а морфизмом является класс гомотопии непрерывных отображений. То есть, два непрерывных отображения f : X → Y считаются одинаковыми в наивной категории гомотопий, если одно можно непрерывно деформировать в другое. Существует функтор из Top в hTop, который отображает пространства в себя, а морфизмы – в их классы гомотопии. Отображение f : X → Y называется гомотопическим эквивалентным, если оно становится изоморфизмом в наивной категории гомотопий. Пример: Окружность S1, плоскость R2 без начала координат и лента Мёбиуса – все они гомотопически эквивалентны, хотя эти топологические пространства не гомеоморфны. Обозначение [X, Y&hairsp;] часто используется для множества гомоморфизмов из пространства X в пространство Y в наивной категории гомотопий (но оно также используется для связанных категорий, обсуждаемых ниже).

Категория гомотопии, следующая за Квилленом

Квиллен (1967) выделил другую категорию, которая ещё больше упрощает категорию топологических пространств. Теоретики гомотопии время от времени работают с обеими категориями, но общепринято, что версия Квиллена более существенна, и поэтому её часто называют просто «категорией гомотопии». Сначала определяется слабая гомотопическая эквивалентность: непрерывное отображение называется слабой гомотопической эквивалентностью, если оно индуцирует биекцию на множествах компонент связности и биекцию на группах гомотопии с произвольными базовыми точками. Затем (истинная) категория гомотопии определяется локализацией категории топологических пространств по слабым гомотопическим эквивалентностям. То есть, объекты остаются топологическими пространствами, но для каждой слабой гомотопической эквивалентности добавляется обратный морфизм. В результате непрерывное отображение становится изоморфизмом в категории гомотопии тогда и только тогда, когда оно является слабой гомотопической эквивалентностью. Существуют очевидные функторы из категории топологических пространств в наивную категорию гомотопии (как определено выше), а затем – в категорию гомотопии. Результаты Дж. Х. К. Уайтхеда, в частности теорема Уайтхеда и существование CW-аппроксимаций, дают более явное описание категории гомотопии. А именно, категория гомотопии эквивалентна полной подкатегории наивной категории гомотопии, состоящей из CW-комплексов. В этом смысле категория гомотопии избавляет от значительной части сложности категории топологических пространств. Пример: Пусть X – множество натуральных чисел {0, 1, 2, …}, а Y – множество {0} ∪ {1, 1/2, 1/3, …}, оба с индуцированной подпространственной топологией из прямой. Определим отображение f: X → Y, сопоставляя 0 с 0 и n с 1/n для положительных n. Тогда f непрерывно и, более того, является слабой гомотопической эквивалентностью, но не гомотопической эквивалентностью. Таким образом, наивная категория гомотопии различает такие пространства, как X и Y, в то время как они становятся изоморфными в категории гомотопии. Для топологических пространств X и Y обозначение [X, Y] может использоваться для обозначения множества морфизмов из X в Y либо в наивной категории гомотопии, либо в истинной категории гомотопии, в зависимости от контекста.

Quillen (1967) emphasized another category which further simplifies the category of topological spaces. Homotopy theorists have to work with both categories from time to time, but the consensus is that Quillen's version is more important, and so it is often called simply the "homotopy category". One first defines a weak homotopy equivalence: a continuous map is called a weak homotopy equivalence if it induces a bijection on sets of path components and a bijection on homotopy groups with arbitrary base points. Then the (true) homotopy category is defined by localizing the category of topological spaces with respect to the weak homotopy equivalences. That is, the objects are still the topological spaces, but an inverse morphism is added for each weak homotopy equivalence. This has the effect that a continuous map becomes an isomorphism in the homotopy category if and only if it is a weak homotopy equivalence. There are obvious functors from the category of topological spaces to the naive homotopy category (as defined above), and from there to the homotopy category. Results of J. H. C. Whitehead, in particular Whitehead's theorem and the existence of CW approximations, give a more explicit description of the homotopy category. Namely, the homotopy category is equivalent to the full subcategory of the naive homotopy category that consists of CW complexes. In this respect, the homotopy category strips away much of the complexity of the category of topological spaces. Example: Let X be the set of natural numbers {0, 1, 2, } and let Y be the set {0} ∪ {1, 1/2, 1/3, }, both with the subspace topology from the real line. Define f : X → Y by mapping 0 to 0 and n to 1/n for n positive. Then f is continuous, and in fact a weak homotopy equivalence, but it is not a homotopy equivalence. Thus the naive homotopy category distinguishes spaces such as X and Y, whereas they become isomorphic in the homotopy category. For topological spaces X and Y, the notation [X,Y&hairsp;] may be used for the set of morphisms from X to Y in either the naive homotopy category or the true homotopy category, depending on the context.

Пространства Эйленберга и Маклана

Одной из причин введения этих категорий является то, что многие инварианты топологических пространств определены на наивной категории гомотопии или даже на истинной категории гомотопии. Например, для слабого гомотопного эквивалента топологических пространств f : X → Y, соответствующий гомоморфизм f* : Hi(X,Z) → Hi(Y,Z) групп сингулярной гомологии является изоморфизмом для всех натуральных чисел i. Следовательно, для каждого натурального числа i сингулярная гомология Hi может рассматриваться как функтор из категории гомотопии в категорию абелевых групп. В частности, две гомотопные отображения из X в Y индуцируют один и тот же гомоморфизм на сингулярных гомологических группах. Сингулярная кохомология обладает еще более сильным свойством: она является представимым функтором на категории гомотопии. То есть, для каждой абелевой группы A и натурального числа i существует CW-комплекс K(A,i) — пространство Эйленберга-Маклейна — и класс кохомологии u в H&hairsp;i(K(A,i),A) такие, что полученная функция (определяемая обратным отображением u в X) является биекцией для всех топологических пространств X. Здесь [X,Y] следует понимать как множество отображений в истинной категории гомотопии, если требуется, чтобы данное утверждение выполнялось для всех топологических пространств X. Оно выполняется в наивной категории гомотопии, если X является CW-комплексом.

Конкретные категории

В то время как объекты гомотопической категории — это множества (с дополнительной структурой), морфизмы — это не сами функции между ними, а скорее классы функций (в наивной гомотопической категории) или «зигзаги» функций (в гомотопической категории). Действительно, Фрейд показал, что ни наивная гомотопическая категория указанных пространств, ни гомотопическая категория указанных пространств не являются конкретными категориями. То есть, не существует верного функтора из этих категорий в категорию множеств.

Категории моделей

Существует более общее понятие: гомотопическая категория категории модели. Категория модели — это категория C с тремя выделенными типами морфизмов, называемыми фибрациями, кофибрациями и слабыми эквивалентностями, удовлетворяющими нескольким аксиомам. Связанная гомотопическая категория определяется локализацией C по слабым эквивалентностям. Эта конструкция, примененная к категории моделей топологических пространств со своей стандартной модельной структурой (иногда называемой модельной структурой Куиллена), дает гомотопическую категорию, определенную выше. В категории топологических пространств рассматривались многие другие модельные структуры, в зависимости от того, насколько сильно требуется упростить категорию. Например, в модельной структуре Гуревича на топологических пространствах, связанная гомотопическая категория является наивной гомотопической категорией, определенной выше. Одна и та же гомотопическая категория может возникать из многих различных категорий моделей. Важным примером является стандартная модельная структура на симплициальных множествах: связанная гомотопическая категория эквивалентна гомотопической категории топологических пространств, хотя симплициальные множества — это комбинаторно определенные объекты, лишенные какой-либо топологии. Некоторые топологи предпочитают работать с компактно порожденными слабыми хаусдорфовыми пространствами; опять же, со стандартной модельной структурой, связанная гомотопическая категория эквивалентна гомотопической категории всех топологических пространств. Для более алгебраического примера категории модели, пусть A будет абелевой категорией Гротендика, например, категория модулей над кольцом или категория пучков абелевых групп на топологическом пространстве. Тогда существует модельная структура на категории цепных комплексов объектов в A, где слабые эквивалентности — это квазиизоморфизмы. Получающаяся гомотопическая категория называется производной категорией D&hairsp;A. Наконец, стабильная гомотопическая категория определяется как гомотопическая категория, связанная с модельной структурой на категории спектров. Рассматривались различные категории спектров, но все принятые определения приводят к одной и той же гомотопической категории.

There is a more general concept: the homotopy category of a model category. A model category is a category C with three distinguished types of morphisms called fibrations, cofibrations and weak equivalences, satisfying several axioms. The associated homotopy category is defined by localizing C with respect to the weak equivalences. This construction, applied to the model category of topological spaces with its standard model structure (sometimes called the Quillen model structure), gives the homotopy category defined above. Many other model structures have been considered on the category of topological spaces, depending on how much one wants to simplify the category. For example, in the Hurewicz model structure on topological spaces, the associated homotopy category is the naive homotopy category defined above. The same homotopy category can arise from many different model categories. An important example is the standard model structure on simplicial sets: the associated homotopy category is equivalent to the homotopy category of topological spaces, even though simplicial sets are combinatorially defined objects that lack any topology. Some topologists prefer instead to work with compactly generated weak Hausdorff spaces; again, with the standard model structure, the associated homotopy category is equivalent to the homotopy category of all topological spaces. For a more algebraic example of a model category, let A be a Grothendieck abelian category, for example the category of modules over a ring or the category of sheaves of abelian groups on a topological space. Then there is a model structure on the category of chain complexes of objects in A, with the weak equivalences being the quasi isomorphisms. The resulting homotopy category is called the derived category D&hairsp;A. Finally, the stable homotopy category is defined as the homotopy category associated to a model structure on the category of spectra. Various different categories of spectra have been considered, but all the accepted definitions yield the same homotopy category.