Введение
Классификация, используемая в дифференциальной геометрии и общей теории относительности. В дифференциальной геометрии и теоретической физике классификация Петрова (также известная как классификация Петрова — Пирани — Пенроуза) описывает возможные алгебраические симметрии тензора Вейля в каждой точке лоренцева многообразия. Она наиболее часто применяется при изучении точных решений уравнений Эйнштейна, но, строго говоря, эта классификация является теоремой чистой математики, применимой к любому лоренцеву многообразию, независимо от какой-либо физической интерпретации. Классификация была установлена в 1954 году А. З. Петровым и независимо от него — Феликсом Пирани в 1957 году.
In differential geometry and theoretical physics, the Petrov classification (also known as Petrov–Pirani–Penrose classification) describes the possible algebraic symmetries of the Weyl tensor at each event in a Lorentzian manifold. It is most often applied in studying exact solutions of Einstein's field equations, but strictly speaking the classification is a theorem in pure mathematics applying to any Lorentzian manifold, independent of any physical interpretation. The classification was found in 1954 by A. Z. Petrov and independently by Felix Pirani in 1957.
Физическая интерпретация
Согласно общей теории относительности, различные алгебраически специальные типы Петрова имеют некоторые интересные физические интерпретации, и эта классификация иногда называется классификацией гравитационных полей. Регионы типа D связаны с гравитационными полями изолированных массивных объектов, таких как звезды. Более точно, поля типа D возникают как внешнее поле гравитирующего объекта, полностью характеризуемого его массой и угловым моментом. (Более общий объект может иметь ненулевые моменты более высокого порядка.) Два двойных главных нулевых направления определяют "радиально" входящие и исходящие нулевые конгруэнции вблизи объекта, являющегося источником поля. Электрогравитационный тензор (или приливный тензор) в области типа D очень близок к гравитационным полям, описываемым в ньютоновской гравитации кулоновским гравитационным потенциалом. Такое приливное поле характеризуется растяжением в одном направлении и сжатием в ортогональных направлениях; собственные значения имеют вид (2,1,1). Например, космический аппарат, вращающийся вокруг Земли, испытывает небольшое растяжение вдоль радиуса от центра Земли и небольшое сжатие в ортогональных направлениях. Как и в ньютоновской гравитации, это приливное поле обычно убывает как , где – расстояние от объекта. Если объект вращается вокруг некоторой оси, помимо приливных эффектов, будут присутствовать различные гравитомагнитные эффекты, такие как силы спин-спина на гироскопах, переносимых наблюдателем. В вакууме Керра, являющемся наиболее известным примером вакуумного решения типа D, эта часть поля убывает как .
Type III regions are associated with a kind of longitudinal gravitational radiation. In such regions, the tidal forces have a shearing effect. This possibility is often neglected, in part because the gravitational radiation which arises in weak field theory is type N, and in part because type III radiation decays like , which is faster than type N radiation. Type N regions are associated with transverse gravitational radiation, which is the type astronomers have detected with LIGO. The quadruple principal null direction corresponds to the wave vector describing the direction of propagation of this radiation. It typically decays like , so the long range radiation field is type N.
Type II regions combine the effects noted above for types D, III, and N, in a rather complicated nonlinear way. Type O regions, or conformally flat regions, are associated with places where the Weyl tensor vanishes identically. In this case, the curvature is said to be pure Ricci. In a conformally flat region, any gravitational effects must be due to the immediate presence of matter or the field energy of some nongravitational field (such as an electromagnetic field). In a sense, this means that any distant objects are not exerting any long range influence on events in our region. More precisely, if there are any time varying gravitational fields in distant regions, the news has not yet reached our conformally flat region. Gravitational radiation emitted from an isolated system will usually not be algebraically special. The peeling theorem describes the way in which, as one moves farther way from the source of the radiation, the various components of the radiation field "peel" off, until finally only type N radiation is noticeable at large distances. This is similar to the electromagnetic peeling theorem.
Регионы типа III связаны с разновидностью продольного гравитационного излучения. В таких регионах приливные силы оказывают сдвигающее воздействие. Эта возможность часто игнорируется, отчасти потому, что гравитационное излучение, возникающее в слабой теории поля, имеет тип N, и отчасти потому, что излучение типа III убывает как , что быстрее, чем излучение типа N. Регионы типа N связаны с поперечным гравитационным излучением, которое астрономы обнаружили с помощью LIGO. Четверное главное нулевое направление соответствует волновому вектору, описывающему направление распространения этого излучения. Обычно оно убывает как , поэтому поле излучения на больших расстояниях имеет тип N.
Type III regions are associated with a kind of longitudinal gravitational radiation. In such regions, the tidal forces have a shearing effect. This possibility is often neglected, in part because the gravitational radiation which arises in weak field theory is type N, and in part because type III radiation decays like , which is faster than type N radiation. Type N regions are associated with transverse gravitational radiation, which is the type astronomers have detected with LIGO. The quadruple principal null direction corresponds to the wave vector describing the direction of propagation of this radiation. It typically decays like , so the long range radiation field is type N.
Type II regions combine the effects noted above for types D, III, and N, in a rather complicated nonlinear way. Type O regions, or conformally flat regions, are associated with places where the Weyl tensor vanishes identically. In this case, the curvature is said to be pure Ricci. In a conformally flat region, any gravitational effects must be due to the immediate presence of matter or the field energy of some nongravitational field (such as an electromagnetic field). In a sense, this means that any distant objects are not exerting any long range influence on events in our region. More precisely, if there are any time varying gravitational fields in distant regions, the news has not yet reached our conformally flat region. Gravitational radiation emitted from an isolated system will usually not be algebraically special. The peeling theorem describes the way in which, as one moves farther way from the source of the radiation, the various components of the radiation field "peel" off, until finally only type N radiation is noticeable at large distances. This is similar to the electromagnetic peeling theorem.
Регионы типа II объединяют эффекты, отмеченные выше для типов D, III и N, довольно сложным нелинейным образом. Регионы типа O, или конформно плоские области, связаны с местами, где тензор Вейля тождественно равен нулю. В этом случае кривизна называется чисто Риччиевой. В конформно плоской области любые гравитационные эффекты должны быть вызваны непосредственным присутствием материи или энергией поля какого-либо негравитационного поля (например, электромагнитного поля). В некотором смысле это означает, что любые удаленные объекты не оказывают дальнодействующего влияния на события в нашей области. Более точно, если в удаленных областях существуют гравитационные поля, изменяющиеся во времени, то информация о них еще не достигла нашей конформно плоской области. Гравитационное излучение, испускаемое изолированной системой, обычно не будет алгебраически специальным. Теорема об отслаивании описывает то, как, по мере удаления от источника излучения, различные компоненты поля излучения "отслаиваются", пока, наконец, на больших расстояниях не остается заметным только излучение типа N. Это аналогично электромагнитной теореме об отслаивании.
Type III regions are associated with a kind of longitudinal gravitational radiation. In such regions, the tidal forces have a shearing effect. This possibility is often neglected, in part because the gravitational radiation which arises in weak field theory is type N, and in part because type III radiation decays like , which is faster than type N radiation. Type N regions are associated with transverse gravitational radiation, which is the type astronomers have detected with LIGO. The quadruple principal null direction corresponds to the wave vector describing the direction of propagation of this radiation. It typically decays like , so the long range radiation field is type N.
Type II regions combine the effects noted above for types D, III, and N, in a rather complicated nonlinear way. Type O regions, or conformally flat regions, are associated with places where the Weyl tensor vanishes identically. In this case, the curvature is said to be pure Ricci. In a conformally flat region, any gravitational effects must be due to the immediate presence of matter or the field energy of some nongravitational field (such as an electromagnetic field). In a sense, this means that any distant objects are not exerting any long range influence on events in our region. More precisely, if there are any time varying gravitational fields in distant regions, the news has not yet reached our conformally flat region. Gravitational radiation emitted from an isolated system will usually not be algebraically special. The peeling theorem describes the way in which, as one moves farther way from the source of the radiation, the various components of the radiation field "peel" off, until finally only type N radiation is noticeable at large distances. This is similar to the electromagnetic peeling theorem.
Обобщение в более высоких измерениях
А. Коли, Р. Милсон, В. Правда и А. Правдова (2004) разработали обобщение алгебраической классификации на произвольное число пространственно-временных измерений. В их подходе используется базис нулевой тетрады, то есть тетрада, содержащая два нулевых вектора – и – вместе с пространственно-подобными векторами. Компоненты тензора Вейля в базисе тетрады классифицируются по их свойствам преобразования при локальных преобразованиях Лоренца. Если определенные компоненты Вейля обращаются в нуль, то и/или называются Вейлевыми выровненными нулевыми направлениями (WAND). В четырех измерениях, является WAND тогда и только тогда, когда это главное нулевое направление в смысле, определенном выше. Этот подход обеспечивает естественное обобщение на большее число измерений каждого из различных алгебраических типов II, D и т.д., определенных ранее. Альтернативное, но неэквивалентное обобщение было предложено ранее де Сметом (2002) на основе спинорного подхода. Однако подход де Смета ограничен только пятью измерениями.