Проективные, Гомотетические и Убийственные Векторные Поля в Общей Теории Относительности
Projective vector field
Проективные векторные поля в римановой геометрии: определение, свойства и классификация. Гомотетии как частный случай и их роль в общей теории относительности.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Проективное векторное поле (проективное) — гладкое векторное поле на полуримановом многообразии (например, пространство-время), поток которого сохраняет геодезическую структуру, но не обязательно сохраняет аффинный параметр любой геодезической. Более интуитивно, поток проективного поля плавно переводит геодезические в геодезические, не сохраняя при этом аффинный параметр.
A projective vector field (projective) is a smooth vector field on a semi Riemannian manifold (p. ex. spacetime) whose flow preserves the geodesic structure of without necessarily preserving the affine parameter of any geodesic. More intuitively, the flow of the projective maps geodesics smoothly into geodesics without preserving the affine parameter.
Субальгебры
Некоторые важные частные случаи проективных векторных полей могут возникать, и они образуют субальгебры Ли. Эти субальгебры полезны, например, при классификации пространств-времени в общей теории относительности.
Several important special cases of projective vector fields can occur and they form Lie subalgebras of These subalgebras are useful, for example, in classifying spacetimes in general relativity.
Гомотетическая алгебра
Гомотетические векторные поля (гомотетии) сохраняют метрику с точностью до постоянного множителя, то есть As. Каждая гомотетия является аффинным преобразованием, и множество всех гомотетий на M образует субалгебру Ли, обозначаемую (гомотетической алгеброй), и удовлетворяет условию для связных M.
Homothetic vector fields (homotheties) preserve the metric up to a constant factor, i. e. As , every homothety is an affine and the set of all homotheties on forms a Lie subalgebra of denoted by (the homothetic algebra) and satisfies for connected M
Гомотетическое векторное поле однозначно определяется заданием значений самого векторного поля и его первой ковариантной производной (эквивалентно, заданием , и ) в любой точке многообразия.
A homothetic vector field is uniquely determined by specifying the values of the vector field and its first covariant derivative (equivalently, specifying , and ) at any point of the manifold.
Убийство алгебры
Убийственные векторные поля (Killing) сохраняют метрику, то есть, исходя из определяющего свойства гомотетии, можно видеть, что каждое поле Killing является гомотетией (и, следовательно, аффинным преобразованием), а множество всех полей Killing на M образует подалгебру Ли в пространстве векторных полей, обозначаемую (алгебра Killing) и удовлетворяющую условиям для связного M.
Killing vector fields (Killings) preserve the metric, i. e. Taking in the defining property of a homothety, it is seen that every Killing is a homothety (and hence an affine) and the set of all Killing vector fields on forms a Lie subalgebra of denoted by (the Killing algebra) and satisfies for connected M
Поле Killing однозначно определяется заданием значений самого поля и его первой ковариантной производной (эквивалентно, заданием и ) в любой точке (для каждой связной компоненты) M.
A Killing vector field is uniquely determined by specifying the values of the vector field and its first covariant derivative (equivalently, specifying and ) at any point (for every connected component) of .
Приложения
В общей теории относительности многие пространства-времена обладают определенными симметриями, которые можно характеризовать векторными полями на пространстве-времени. Например, пространство Минковского допускает максимальную проективную алгебру, то есть…
In general relativity, many spacetimes possess certain symmetries that can be characterised by vector fields on the spacetime. For example, Minkowski space admits the maximal projective algebra, i. e.
Многие другие применения векторных полей симметрии в общей теории относительности можно найти в работе Холла (2004), которая также содержит обширную библиографию, включающую множество исследовательских работ в области симметрий в общей теории относительности.
Many other applications of symmetry vector fields in general relativity may be found in Hall (2004) which also contains an extensive bibliography including many research papers in the field of symmetries in general relativity.