Введение

Понятие в математике
В математике радиус устойчивости объекта (системы, функции, матрицы, параметра) в заданной номинальной точке — это радиус наибольшей сферы, с центром в номинальной точке, все элементы которой удовлетворяют заранее определенным условиям устойчивости. Представьте себе эту интуитивную идею следующим образом:

где обозначает номинальную точку, обозначает пространство всех возможных значений объекта, а заштрихованная область, , представляет собой множество точек, удовлетворяющих условиям устойчивости. Радиус синего круга, показанного красным цветом, и есть радиус устойчивости.

Абстрактное определение

Формальное определение этого понятия варьируется в зависимости от области применения. Следующее абстрактное определение весьма полезно, где обозначает замкнутый шар радиуса в пространстве, с центром в точке .

История

Похоже, что эта концепция была изобретена в начале 1960-х годов. В 1980-х годах она стала популярной в теории управления и оптимизации. Она широко используется как модель локальной устойчивости к небольшим возмущениям заданной номинальной величины рассматриваемого объекта.

Радиус стабильности функций

Радиус устойчивости непрерывной функции f (в функциональном пространстве F) относительно открытой области устойчивости D — это расстояние между f и множеством неустойчивых функций (относительно D). Мы говорим, что функция устойчива относительно D, если её спектр лежит в D. Здесь понятие спектра определяется от случая к случаю, как объясняется ниже.

Приложения

Понятие радиуса устойчивости обычно применяется к специальным функциям, таким как многочлены (в этом случае спектром являются корни) и матрицам (спектром являются собственные значения). Случай, когда C является собственным подмножеством F, позволяет рассматривать структурированные возмущения (например, для матрицы могут потребоваться возмущения только в последней строке). Это интересный показатель робастности, например, в теории управления.

Свойства

Пусть f — (комплексный) многочлен степени n, C=F — множество многочленов степени меньше (или равной) n (которые мы отождествляем здесь с множеством коэффициентов). В качестве D выберем открытый единичный диск, что означает, что мы ищем расстояние между многочленом и множеством многочленов, устойчивых по Шуру. Тогда:

где q содержит каждый базисный вектор (например, когда q — обычная степенная основа). Этот результат означает, что радиус устойчивости ограничен минимальным значением, которое f принимает на единичной окружности.

Примеры

Полином (чьи корни являются восьмыми корнями из 0.9) имеет радиус устойчивости 1/80, если q – степенное основание, а норма – норма бесконечности. Следовательно, должен существовать многочлен g с (бесконечной) нормой 1/90, такой что f + g имеет (по крайней мере) корень на единичной окружности. Например, такой g действительно существует: (f+g)(1) = 0, и 1 лежит на единичной окружности, что означает, что f+g неустойчив.