Кіріспе

Математикадағы ұғым
Математикада, берілген номиналды нүктедегі объектінің (жүйенің, функцияның, матрицаның, параметрдің) тұрақтылық радиусы – сол номиналды нүктеде ортасы орналасқан, ал барлық элементтері алдын ала белгіленген тұрақтылық шарттарын қанағаттандыратын ең үлкен шардың радиусы. Осы интуитивті ұғымды мына сурет арқылы түсінуге болады:

мұнда – номиналды нүкте, – объектінің барлық мүмкін мәндерінің кеңістігі, ал көлеңкеленген аймақ – тұрақтылық шарттарын қанағаттандыратын нүктелер жиынтығын көрсетеді. Қызыл түсте көрсетілген көк шеңбердің радиусы – тұрақтылық радиусы.

Абстрактілік анықтама

Бұл ұғымның ресми анықтамасы қолдану саласына қарай өзгереді. Келесі абстрактілі анықтама өте пайдалы:

мұнда – нүктесінде ортасы орналасқан, радиусы болатын жабық шарды білдіреді.

Тарих

Бұл ұғым 1960 жылдардың басында пайда болған сияқты. 1980 жылдары ол басқару теориясы және оптимизация салаларында кеңінен танылды. Ол қызығушылық тудыратын нысанның белгілі бір номиналды мәніндегі шағын өзгерістерге қарсы жергілікті тұрақтылықтың моделі ретінде жиі қолданылады.

Функциялардың тұрақтылық радиусы

Үзіліссіз функция f-тің функционалдық кеңістікте F, ашық тұрақтылық домені D-ге қатысты тұрақтылық радиусы – f пен тұрақсыз функциялар жиыны арасындағы қашықтық (D-ге қатысты). Егер функцияның спектрі D-де жатса, онда ол D-ге қатысты тұрақты деп есептеледі. Мұндағы спектр ұғымы, төменде түсіндірілгендей, әрбір жағдай бойынша анықталады.

Қолданбалар

Тұрақтылық радиусы ұғымы көбінесе полиномдар (спектрі – түбірлер) және матрицалар (спектрі – өзіндік мәндер) сияқты арнайы функцияларға қолданылады. Егер C жиыны F жиынының нақты қосалқы жиыны болса, құрылымдық өзгерістерді қарастыруға болады (мысалы, матрица үшін соңғы қатардағы өзгерістер ғана қажет болуы мүмкін). Бұл, мысалы, басқару теориясында сенімділіктің маңызды көрсеткіші болып табылады.

Қасиеттері

f – n дәрежелі (кешенді) полиномиал болсын, C=F – n-ден кіші (немесе тең) дәрежелі полиномиалдар жиыны (біз оны осы жерде коэффициенттер жиынымен теңестіреміз). D ретінде ашық бірлік дискісін қабылдаймыз, яғни полиномиал мен Шур тұрақты полиномиалдар жиыны арасындағы қашықтықты іздейміз. Содан кейін:

мұнда q әрбір базистік векторды қамтиды (мысалы, q – стандартты қуаттық базис болғанда). Бұл нәтиже тұрақтылық радиусының f полиномиалының бірлік шеңбердегі ең төменгі мәнімен байланысты екенін көрсетеді.

Мысалдар

Көпжүзділік (0,9-дың 8-ші түбірі болып табылатын нөлдері бар) q қуаттылық негізі және нормасы шексіздік нормасы болғанда, 1/80 тұрақтылық радиусына ие. Сондықтан, f+g бірлік шеңберінде (кем дегенде) бір түбірге ие болу үшін 1/90 (шексіздік) нормасы бар g көпжүзділігі болуы керек. Мәселен, мұндай g үшін (f+g)(1)=0 және 1 бірлік шеңберінде жатыр, яғни f+g тұрақсыз.