Введение
Все точки, относительное расстояние от которых до двух окружностей одинаково, – радикальная ось, используемая в геометрии.
the radical axis used in geometry
In Euclidean geometry, the radical axis of two non concentric circles is the set of points whose power with respect to the circles are equal. For this reason the radical axis is also called the power line or power bisector of the two circles. In detail:
For two circles with centers and radii the powers of a point P with respect to the circles are
Point P belongs to the radical axis, if
If the circles have two points in common, the radical axis is the common secant line of the circles. If point P is outside the circles, P has equal tangential distance to both the circles. If the radii are equal, the radical axis is the line segment bisector of In any case the radical axis is a line perpendicular to
On notations
The notation radical axis was used by the French mathematician M. Chasles as axe radical. J. V. Poncelet used chorde ideale. J. Plücker introduced the term Chordale. J. Steiner called the radical axis line of equal powers (Linie der gleichen Potenzen) which led to power line (Potenzgerade).
В евклидовой геометрии радикальная ось двух некоцентрических окружностей – это множество точек, чья степень по отношению к этим окружностям одинакова. По этой причине радикальную ось также называют линией степеней или биссектрисой степеней двух окружностей. В частности:
the radical axis used in geometry
In Euclidean geometry, the radical axis of two non concentric circles is the set of points whose power with respect to the circles are equal. For this reason the radical axis is also called the power line or power bisector of the two circles. In detail:
For two circles with centers and radii the powers of a point P with respect to the circles are
Point P belongs to the radical axis, if
If the circles have two points in common, the radical axis is the common secant line of the circles. If point P is outside the circles, P has equal tangential distance to both the circles. If the radii are equal, the radical axis is the line segment bisector of In any case the radical axis is a line perpendicular to
On notations
The notation radical axis was used by the French mathematician M. Chasles as axe radical. J. V. Poncelet used chorde ideale. J. Plücker introduced the term Chordale. J. Steiner called the radical axis line of equal powers (Linie der gleichen Potenzen) which led to power line (Potenzgerade).
Для двух окружностей с центрами и радиусами, степень точки P относительно окружностей равна:
the radical axis used in geometry
In Euclidean geometry, the radical axis of two non concentric circles is the set of points whose power with respect to the circles are equal. For this reason the radical axis is also called the power line or power bisector of the two circles. In detail:
For two circles with centers and radii the powers of a point P with respect to the circles are
Point P belongs to the radical axis, if
If the circles have two points in common, the radical axis is the common secant line of the circles. If point P is outside the circles, P has equal tangential distance to both the circles. If the radii are equal, the radical axis is the line segment bisector of In any case the radical axis is a line perpendicular to
On notations
The notation radical axis was used by the French mathematician M. Chasles as axe radical. J. V. Poncelet used chorde ideale. J. Plücker introduced the term Chordale. J. Steiner called the radical axis line of equal powers (Linie der gleichen Potenzen) which led to power line (Potenzgerade).
Точка P принадлежит радикальной оси, если:
the radical axis used in geometry
In Euclidean geometry, the radical axis of two non concentric circles is the set of points whose power with respect to the circles are equal. For this reason the radical axis is also called the power line or power bisector of the two circles. In detail:
For two circles with centers and radii the powers of a point P with respect to the circles are
Point P belongs to the radical axis, if
If the circles have two points in common, the radical axis is the common secant line of the circles. If point P is outside the circles, P has equal tangential distance to both the circles. If the radii are equal, the radical axis is the line segment bisector of In any case the radical axis is a line perpendicular to
On notations
The notation radical axis was used by the French mathematician M. Chasles as axe radical. J. V. Poncelet used chorde ideale. J. Plücker introduced the term Chordale. J. Steiner called the radical axis line of equal powers (Linie der gleichen Potenzen) which led to power line (Potenzgerade).
Если окружности имеют две общие точки, радикальная ось является их общей секущей. Если точка P находится вне окружностей, то P имеет равное расстояние по касательной до обеих окружностей. Если радиусы равны, то радикальная ось является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему центры окружностей. В любом случае радикальная ось – это прямая, перпендикулярная линии, соединяющей центры окружностей.
the radical axis used in geometry
In Euclidean geometry, the radical axis of two non concentric circles is the set of points whose power with respect to the circles are equal. For this reason the radical axis is also called the power line or power bisector of the two circles. In detail:
For two circles with centers and radii the powers of a point P with respect to the circles are
Point P belongs to the radical axis, if
If the circles have two points in common, the radical axis is the common secant line of the circles. If point P is outside the circles, P has equal tangential distance to both the circles. If the radii are equal, the radical axis is the line segment bisector of In any case the radical axis is a line perpendicular to
On notations
The notation radical axis was used by the French mathematician M. Chasles as axe radical. J. V. Poncelet used chorde ideale. J. Plücker introduced the term Chordale. J. Steiner called the radical axis line of equal powers (Linie der gleichen Potenzen) which led to power line (Potenzgerade).
Об обозначениях:
the radical axis used in geometry
In Euclidean geometry, the radical axis of two non concentric circles is the set of points whose power with respect to the circles are equal. For this reason the radical axis is also called the power line or power bisector of the two circles. In detail:
For two circles with centers and radii the powers of a point P with respect to the circles are
Point P belongs to the radical axis, if
If the circles have two points in common, the radical axis is the common secant line of the circles. If point P is outside the circles, P has equal tangential distance to both the circles. If the radii are equal, the radical axis is the line segment bisector of In any case the radical axis is a line perpendicular to
On notations
The notation radical axis was used by the French mathematician M. Chasles as axe radical. J. V. Poncelet used chorde ideale. J. Plücker introduced the term Chordale. J. Steiner called the radical axis line of equal powers (Linie der gleichen Potenzen) which led to power line (Potenzgerade).
Обозначение «радикальная ось» было использовано французским математиком М. Шаслесом как *axe radical*. Ж.В. Понселе использовал *chorde idéale*. Я. Плюккер ввел термин *Chordale*. Я. Штайнер назвал радикальную ось линией равных степеней (*Linie der gleichen Potenzen*), что привело к термину «линия степеней» (*Potenzgerade*).
the radical axis used in geometry
In Euclidean geometry, the radical axis of two non concentric circles is the set of points whose power with respect to the circles are equal. For this reason the radical axis is also called the power line or power bisector of the two circles. In detail:
For two circles with centers and radii the powers of a point P with respect to the circles are
Point P belongs to the radical axis, if
If the circles have two points in common, the radical axis is the common secant line of the circles. If point P is outside the circles, P has equal tangential distance to both the circles. If the radii are equal, the radical axis is the line segment bisector of In any case the radical axis is a line perpendicular to
On notations
The notation radical axis was used by the French mathematician M. Chasles as axe radical. J. V. Poncelet used chorde ideale. J. Plücker introduced the term Chordale. J. Steiner called the radical axis line of equal powers (Linie der gleichen Potenzen) which led to power line (Potenzgerade).
Специальные позиции
Радикальная ось двух пересекающихся окружностей — их общая секущая. Радикальная ось двух касающихся окружностей — их общая касательная. Радикальная ось двух непересекающихся окружностей — общая секущая двух подходящих окружностей с одинаковой степенью (см. ниже).
Ортогональные круги
Для точки, лежащей вне окружности, и двух точек касания выполняется уравнение, и эти точки лежат на окружности с центром и радиусом. Окружность пересекает данную окружность ортогонально. Следовательно: Если является точкой радикальной оси, то четыре точки лежат на окружности, которая пересекает данные окружности ортогонально. Радикальная ось состоит из всех центров окружностей, которые пересекают данные окружности ортогонально.
If is a point of the radical axis, then the four points lie on circle , which intersects the given circles orthogonally. The radical axis consists of all centers of circles, which intersect the given circles orthogonally.
Отношение к биполярным координатам
В общем, любые два непересекающихся, неконцентрических круга могут быть совмещены с окружностями системы биполярных координат. В этом случае, радикальная ось является просто осью этой системы координат. Каждая окружность на оси, проходящая через два фокуса системы координат, пересекает две данные окружности под прямым углом. Максимальное множество окружностей, все центры которых лежат на одной прямой и все пары которых имеют одну и ту же радикальную ось, называется пучком коаксиальных окружностей.
Радикальная плоскость и гиперплоскость
Радикальная плоскость двух неконцентрических сфер в трех измерениях определяется аналогичным образом: это геометрическое место точек, из которых касательные к обеим сферам имеют одинаковую длину. Тот факт, что это геометрическое место является плоскостью, следует из вращения в третьем измерении из того факта, что радикальная ось является прямой линией. То же определение можно применить к гиперсферам в евклидовом пространстве любой размерности, что дает радикальную гиперплоскость двух неконцентрических гиперсфер.