Введение
Декартово произведение двух политопов
Набор однородных p q дуопризм
Тип: Призматические однородные 4-политопы
Символ Шлефли: {p}×{q}
Диаграмма Коксетера — Дина: [p,2,q]
Ячейки: p-угольные призмы, q-угольные призмы
Грани: pq квадратов, p q-угольников, q p-угольников
Ребра: 2pq
Вершины: pq
Фигура вершины: дисфеноид
Симметрия: [p,2,q], порядок 4pq
Двойственный политоп: p q дуопирамида
Свойства: выпуклый, однородный по вершинам
Set of uniform p q duoprismsTypePrismatic uniform 4 polytopesSchläfli symbol{p}×{q} Coxeter Dynkin diagramCellsp q gonal prisms,q p gonal prismsFacespq squares,p q gons,q p gonsEdges2pqVerticespqVertex figuredisphenoidSymmetry[p,2,q], order 4pqDualp q duopyramidPropertiesconvex, vertex uniform Set of uniform p p duoprismsTypePrismatic uniform 4 polytopeSchläfli symbol{p}×{p} Coxeter Dynkin diagramCells2p p gonal prismsFaces squares,2p p gonsEdgesVerticesSymmetry order Dualp p duopyramidPropertiesconvex, vertex uniform, Facet transitive
In geometry of 4 dimensions or higher, a double prism or duoprism is a polytope resulting from the Cartesian product of two polytopes, each of two dimensions or higher. The Cartesian product of an n polytope and an m polytope is an (n+m) polytope, where n and m are dimensions of 2 (polygon) or higher. The lowest dimensional duoprisms exist in 4 dimensional space as 4 polytopes being the Cartesian product of two polygons in 2 dimensional Euclidean space. More precisely, it is the set of points:
where and are the sets of the points contained in the respective polygons. Such a duoprism is convex if both bases are convex, and is bounded by prismatic cells.
Набор однородных p p дуопризм
Тип: Призматический однородный 4-политоп
Символ Шлефли: {p}×{p}
Диаграмма Коксетера — Дина: [p,2,p]
Ячейки: 2p p-угольных призмы
Грани: квадраты, 2p p-угольников
Ребра:
Вершины:
Симметрия: порядок 4p
Двойственный политоп: p p дуопирамида
Свойства: выпуклый, однородный по вершинам, транзитивный по граням
Set of uniform p q duoprismsTypePrismatic uniform 4 polytopesSchläfli symbol{p}×{q} Coxeter Dynkin diagramCellsp q gonal prisms,q p gonal prismsFacespq squares,p q gons,q p gonsEdges2pqVerticespqVertex figuredisphenoidSymmetry[p,2,q], order 4pqDualp q duopyramidPropertiesconvex, vertex uniform Set of uniform p p duoprismsTypePrismatic uniform 4 polytopeSchläfli symbol{p}×{p} Coxeter Dynkin diagramCells2p p gonal prismsFaces squares,2p p gonsEdgesVerticesSymmetry order Dualp p duopyramidPropertiesconvex, vertex uniform, Facet transitive
In geometry of 4 dimensions or higher, a double prism or duoprism is a polytope resulting from the Cartesian product of two polytopes, each of two dimensions or higher. The Cartesian product of an n polytope and an m polytope is an (n+m) polytope, where n and m are dimensions of 2 (polygon) or higher. The lowest dimensional duoprisms exist in 4 dimensional space as 4 polytopes being the Cartesian product of two polygons in 2 dimensional Euclidean space. More precisely, it is the set of points:
where and are the sets of the points contained in the respective polygons. Such a duoprism is convex if both bases are convex, and is bounded by prismatic cells.
В геометрии 4-х и более измерений дуопризма (или двойной призмы) — это политоп, являющийся результатом декартова произведения двух политопов, каждый из которых имеет два или более измерений. Декартово произведение n-политопа и m-политопа является (n+m)-политопом, где n и m — размерности, равные 2 (многоугольник) или более. Дуопризмы наименьшей размерности существуют в 4-мерном пространстве как 4-политопы, являющиеся декартовым произведением двух многоугольников в 2-мерном евклидовом пространстве. Более точно, это множество точек:
Set of uniform p q duoprismsTypePrismatic uniform 4 polytopesSchläfli symbol{p}×{q} Coxeter Dynkin diagramCellsp q gonal prisms,q p gonal prismsFacespq squares,p q gons,q p gonsEdges2pqVerticespqVertex figuredisphenoidSymmetry[p,2,q], order 4pqDualp q duopyramidPropertiesconvex, vertex uniform Set of uniform p p duoprismsTypePrismatic uniform 4 polytopeSchläfli symbol{p}×{p} Coxeter Dynkin diagramCells2p p gonal prismsFaces squares,2p p gonsEdgesVerticesSymmetry order Dualp p duopyramidPropertiesconvex, vertex uniform, Facet transitive
In geometry of 4 dimensions or higher, a double prism or duoprism is a polytope resulting from the Cartesian product of two polytopes, each of two dimensions or higher. The Cartesian product of an n polytope and an m polytope is an (n+m) polytope, where n and m are dimensions of 2 (polygon) or higher. The lowest dimensional duoprisms exist in 4 dimensional space as 4 polytopes being the Cartesian product of two polygons in 2 dimensional Euclidean space. More precisely, it is the set of points:
where and are the sets of the points contained in the respective polygons. Such a duoprism is convex if both bases are convex, and is bounded by prismatic cells.
где и — множества точек, содержащихся в соответствующих многоугольниках. Такая дуопризма является выпуклой, если оба основания выпуклые, и ограничена призмами-ячейками.
Set of uniform p q duoprismsTypePrismatic uniform 4 polytopesSchläfli symbol{p}×{q} Coxeter Dynkin diagramCellsp q gonal prisms,q p gonal prismsFacespq squares,p q gons,q p gonsEdges2pqVerticespqVertex figuredisphenoidSymmetry[p,2,q], order 4pqDualp q duopyramidPropertiesconvex, vertex uniform Set of uniform p p duoprismsTypePrismatic uniform 4 polytopeSchläfli symbol{p}×{p} Coxeter Dynkin diagramCells2p p gonal prismsFaces squares,2p p gonsEdgesVerticesSymmetry order Dualp p duopyramidPropertiesconvex, vertex uniform, Facet transitive
In geometry of 4 dimensions or higher, a double prism or duoprism is a polytope resulting from the Cartesian product of two polytopes, each of two dimensions or higher. The Cartesian product of an n polytope and an m polytope is an (n+m) polytope, where n and m are dimensions of 2 (polygon) or higher. The lowest dimensional duoprisms exist in 4 dimensional space as 4 polytopes being the Cartesian product of two polygons in 2 dimensional Euclidean space. More precisely, it is the set of points:
where and are the sets of the points contained in the respective polygons. Such a duoprism is convex if both bases are convex, and is bounded by prismatic cells.
Пример 16-16 дуопризма
Диаграмма Шлегеля. Проекция из центра одной 16-угольной призмы, при этом показаны все, кроме одной из противоположных 16-угольных призм. Развёртка показывает два набора 16-угольных призм. Верхняя и нижняя грани вертикального цилиндра соединяются при складывании в 4D.
Геометрия 4-мерных дуопризм
Четырехмерная однородная дупризма создается произведением правильного n-угольника и правильного m-угольника с одинаковой длиной ребра. Она ограничена n*m-угольными призмами и m*n-угольными призмами. Например, декартово произведение треугольника и шестиугольника представляет собой дуопризму, ограниченную 6 треугольными призмами и 3 шестиугольными призмами. Когда m и n идентичны, полученная дуопризма ограничена 2n идентичными n-угольными призмами. Например, декартово произведение двух треугольников представляет собой дуопризму, ограниченную 6 треугольными призмами. Когда m и n равны 4, полученная дуопризма ограничена 8 квадратными призмами (кубами) и идентична тессеракту. m-угольные призмы прикреплены друг к другу через свои m-угольные грани, образуя замкнутый цикл. Аналогично, n-угольные призмы прикреплены друг к другу через свои n-угольные грани, образуя второй цикл, перпендикулярный первому. Эти два цикла прикреплены друг к другу через свои квадратные грани и взаимно перпендикулярны. При стремлении m и n к бесконечности, соответствующие дуопризмы приближаются к дуоцилиндру. Таким образом, дуопризмы полезны как неквадратичные приближения дуоцилиндра.
Связанные политопы
Регулярный скошенный многогранник {4,4|n} существует в 4-мерном пространстве как n² квадратных граней n-мерной дуопризмы, используя все 2n² ребер и n² вершин. 2n n-угольных граней можно представить как удалённые. (Скошенные многогранники можно представить аналогичным образом с помощью n m-мерной дуопризмы, но они не являются регулярными.)
Дуоантипризм
Как и антипризмы, являющиеся чередующимися призмами, существует набор 4-мерных дуоантипризм: 4 политопа, которые можно получить применением операции чередования к дуопризме. Чередующиеся вершины создают нерегулярные тетраэдрические ячейки, за исключением особого случая – дуопризмы 4 4 (тессеракт), которая образует однородную (и правильную) 16-ячейку. 16-ячейка – единственный выпуклый однородный дуоантипризм. Дуопризмы t0,1,2,3{p,2,q} могут быть преобразованы чередованием в ht0,1,2,3{p,2,q}, "дуоантипризмы", которые, как правило, не могут быть сделаны однородными. Единственным выпуклым однородным решением является тривиальный случай p=q=2, представляющий собой конструкцию тессеракта с пониженной симметрией t0,1,2,3{2,2,2}, чьё чередование даёт 16-ячейку s{2}s{2}. Единственным невыпуклым однородным решением является p=5, q=5/3, ht0,1,2,3{5,2,5/3}, построенный из 10 пятиугольных антипризм, 10 пятиугольных перекрестных антипризм и 50 тетраэдров, известный как большой дуоантипризм (gudap).
Диттерагольтриаты
Также связаны дитетрагольтриаты или октагольтриаты, формируемые путем перехода от восьмиугольника (который рассматривается как дитетрагон или усеченный квадрат) к p-угольнику. Восьмиугольник, полученный из p-угольника, может быть четко определен, если предположить, что восьмиугольник является выпуклой оболочкой двух перпендикулярных прямоугольников; тогда p-гональный дитетрагольтриат является выпуклой оболочкой двух p-угольных дуопризм (где p-угольники подобны, но не конгруэнтны, то есть имеют разные размеры) в перпендикулярных ориентациях. Полученный полихорон изогонален и содержит 2p p-угольных призм и p² прямоугольных трапецопризм (куб с симметрией D2d), но не может быть сделан однородным. Вершинная фигура представляет собой треугольную бипирамиду.
Двойные антипризмоиды
Как и дуоантипризмы, рассматриваемые как чередующиеся дуопризмы, существует набор p-гональных двойных антипризмоидов, создаваемых чередованием 2p-гональных дитетрагольтриатов, формирующих p-гональные антипризмы и тетраэдры, при этом некореальные треугольные бипирамиды интерпретируются как два тетраэдра. Получающаяся фигура обычно не является однородной, за исключением двух случаев: большой антипризмы и ее сопряженной, пятиграммового двойного антипризмоида (при p = 5 и 5/3 соответственно), представленного как чередование декагонального или декаграммового дитетрагольтриата. Вершинная фигура является вариантом сфенокороны.
k_22 политопы
Дуопризма 3 3, 122, является первой в размерной серии однородных политопов, выраженной Коксетером как серия k22. Дуопризма 3 3 является вершинной фигурой для второго, двукратно усеченного 5-симплекса. Четвертая фигура – евклидова сотовая структура, 222, а последняя – паракомпактная гиперболическая сотовая структура, 322, с группой Коксетера [32,2,3]. Каждый следующий однородный политоп строится из предыдущего как его вершинная фигура.