Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Четырехмерный объект
4 dimensional object
Дуоцилиндр, также называемый двойным цилиндром или бидиском, — это геометрический объект, встроенный в 4-мерное евклидово пространство и определяемый как декартово произведение двух дисков радиусов r1 и r2 соответственно:
The duocylinder, also called the double cylinder or the bidisc, is a geometric object embedded in 4 dimensional Euclidean space, defined as the Cartesian product of two disks of respective radii r1 and r2:
Он аналогичен цилиндру в 3-мерном пространстве, который является декартовым произведением диска и отрезка прямой. Но в отличие от цилиндра, обе гиперповерхности (правильного дуоцилиндра) конгруэнтны. Его двойственным объектом является дуошпиндель, построенный из двух окружностей, одна в плоскости xy, а другая в плоскости zw.
It is similar to a cylinder in 3 space, which is the Cartesian product of a disk with a line segment. But unlike the cylinder, both hypersurfaces (of a regular duocylinder) are congruent. Its dual is a duospindle, constructed from two circles, one in the xy plane and the other in the zw plane.
Хребет
Хребет двуцилиндра — это 2-мерное многообразие, являющееся границей между двумя ограничивающими (телесные) ячейками тора. Он имеет форму тора Клиффорда, который представляет собой декартово произведение двух окружностей. Интуитивно его можно построить следующим образом: сверните двумерный прямоугольник в цилиндр, чтобы его верхний и нижний края сошлись. Затем перекатите цилиндр в плоскости, перпендикулярной трехмерной гиперплоскости, в которой он лежит, чтобы его два круглых конца соединились. Полученная форма топологически эквивалентна евклидову 2-тору (форме бублика). Однако, в отличие от последнего, все части его поверхности деформированы одинаково. На (2D поверхности, встроенной в 3D) бублике поверхность вокруг «отверстия бублика» деформирована с отрицательной кривизной (как седло), в то время как внешняя поверхность деформирована с положительной кривизной (как сфера). Хребет двуцилиндра можно рассматривать как фактическую глобальную форму экранов видеоигр, таких как Asteroids, где выход за край одной стороны экрана приводит на другую сторону. Его нельзя встроить без искажений в трехмерное пространство, поскольку для соединения обеих пар краев ему требуются две степени свободы («направления») в дополнение к присущей ему двухмерной поверхности. Двуцилиндр можно построить из 3-сферы, «отсекая» выпуклость 3-сферы с обеих сторон хребта. Аналог этого на 2-сфере — нарисовать малые круги широты на ±45 градусах и отсечь выпуклость между ними, оставив цилиндрическую стенку, и отсечь вершины, оставив плоские вершины. Эта операция эквивалентна удалению выбранных вершин/пирамид из политопов, но поскольку 3-сфера гладкая/регулярная, необходимо обобщить операцию. Диэдрический угол между двумя трехмерными гиперповерхностями по обе стороны хребта составляет 90 градусов.
The ridge of the duocylinder is the 2 manifold that is the boundary between the two bounding (solid) torus cells. It is in the shape of a Clifford torus, which is the Cartesian product of two circles. Intuitively, it may be constructed as follows: Roll a 2 dimensional rectangle into a cylinder, so that its top and bottom edges meet. Then roll the cylinder in the plane perpendicular to the 3 dimensional hyperplane that the cylinder lies in, so that its two circular ends meet. The resulting shape is topologically equivalent to a Euclidean 2 torus (a doughnut shape). However, unlike the latter, all parts of its surface are identically deformed. On the (2D surface, embedded in 3D) doughnut, the surface around the 'doughnut hole' is deformed with negative curvature (like a saddle) while the surface outside is deformed with positive curvature (like a sphere). The ridge of the duocylinder may be thought of as the actual global shape of the screens of video games such as Asteroids, where going off the edge of one side of the screen leads to the other side. It cannot be embedded without distortion in 3 dimensional space, because it requires two degrees of freedom ("directions") in addition to its inherent 2 dimensional surface in order for both pairs of edges to be joined. The duocylinder can be constructed from the 3 sphere by "slicing" off the bulge of the 3 sphere on either side of the ridge. The analog of this on the 2 sphere is to draw minor latitude circles at ±45 degrees and slicing off the bulge between them, leaving a cylindrical wall, and slicing off the tops, leaving flat tops. This operation is equivalent to removing select vertices/pyramids from polytopes, but since the 3 sphere is smooth/regular you have to generalize the operation. The dihedral angle between the two 3 dimensional hypersurfaces on either side of the ridge is 90 degrees.
Прогнозы
Параллельные проекции дуоцилиндра в трехмерное пространство и его сечения с трехмерным пространством образуют цилиндры. Перспективные проекции дуоцилиндра образуют тороподобные фигуры с заполненным отверстием в центре.
Parallel projections of the duocylinder into 3 dimensional space and its cross sections with 3 dimensional space both form cylinders. Perspective projections of the duocylinder form torus like shapes with the 'doughnut hole' filled in.
Отношение к другим формам
Двухцилиндр является предельной формой дуопризм при стремлении числа сторон составляющих многоугольных призм к бесконечности. Следовательно, дуопризмы служат хорошим политопическим приближением двухцилиндра. В трехмерном пространстве цилиндр можно рассматривать как промежуточную форму между кубом и сферой. В четырехмерном пространстве существует три промежуточные формы между тессерактом (1 сфера × 1 сфера × 1 сфера × 1 сфера) и гиперсферой (4 сфера). Это:
The duocylinder is the limiting shape of duoprisms as the number of sides in the constituent polygonal prisms approach infinity. The duoprisms therefore serve as good polytopic approximations of the duocylinder. In 3 space, a cylinder can be considered intermediate between a cube and a sphere. In 4 space there are three intermediate forms between the tesseract (1 ball × 1 ball × 1 ball × 1 ball) and the hypersphere (4 ball). They are:
кубиндр (2 сферы × 1 сфера × 1 сфера), поверхность которого состоит из четырех цилиндрических ячеек и одного квадратного тора; сфериндр (3 сферы × 1 сфера), поверхность которого состоит из трех ячеек – двух сфер и области между ними; двухцилиндр (2 сферы × 2 сферы), поверхность которого состоит из двух тороидальных ячеек. Двухцилиндр – единственный из этих трех, который является правильным. Эти построения соответствуют пяти разбиениям числа 4, равного числу измерений.
the cubinder (2 ball × 1 ball × 1 ball), whose surface consists of four cylindrical cells and one square torus. the spherinder (3 ball × 1 ball), whose surface consists of three cells—two spheres, and the region in between. the duocylinder (2 ball × 2 ball), whose surface consists of two toroidal cells. The duocylinder is the only one of the above three that is regular. These constructions correspond to the five partitions of 4, the number of dimensions.