Топологические многообразия: свойства и примеры

Введение

Тип топологического пространства
В топологии, ветви математики, топологическое многообразие — это топологическое пространство, которое локально похоже на n-мерное евклидово пространство. Топологические многообразия являются важным классом топологических пространств и имеют применения во всей математике. Все многообразия по определению являются топологическими многообразиями. Другие типы многообразий формируются путем добавления структуры к топологическому многообразию (например, дифференцируемые многообразия — это топологические многообразия, снабженные дифференциальной структурой). Каждое многообразие имеет "лежащее в основе" топологическое многообразие, полученное простым "игнорированием" добавленной структуры. Однако не каждому топологическому многообразию можно придать определенную дополнительную структуру. Например, многообразие E8 является топологическим многообразием, которое нельзя снабдить дифференцируемой структурой.

Формальное определение

Топологическое пространство X называется локально евклидовым, если существует неотрицательное целое число n, такое, что для каждой точки в X существует окрестность, гомеоморфная реальному n-мерному пространству Rn. Топологическое многообразие – это локально евклидово хаусдорфово пространство. Обычно на топологические многообразия накладываются дополнительные требования. В частности, многие авторы определяют их как паракомпактные или второ счётные. Предположим, такое пространство X является σ-компактным. Тогда оно линделёфово, и поскольку линделёфовость плюс регулярность влечёт паракомпактность, X метризуемо. Но в метризуемом пространстве вторая счётность совпадает с линделёфовостью, следовательно, X второ счётное. И наоборот, если X – второ счётное многообразие Хаусдорфа, то оно должно быть σ-компактным. Многообразие не обязано быть связным, но каждое многообразие M является непересекающимся объединением связных многообразий. Это просто связные компоненты M, которые являются открытыми множествами, поскольку многообразие локально связно. Будучи локально путь-связным, многообразие путь-связно тогда и только тогда, когда оно связно. Следовательно, компоненты пути совпадают с компонентами связности.

Аксиома Хаусдорфа

Свойство Гаусдорфа не является локальным свойством; поэтому, даже если евклидово пространство является хаусдорфовым, локально евклидово пространство не обязано им быть. Однако верно, что каждое локально евклидово пространство является T1-пространством. Примером нехаусдорфова локально евклидова пространства является прямая с двумя началами координат. Это пространство создается заменой начала координат вещественной прямой двумя точками, такими что открытая окрестность любой из них содержит все ненулевые числа в некотором открытом интервале с центром в нуле. Это пространство не является хаусдорфовым, поскольку эти две точки не могут быть разделены.

Аксиомы компактности и подсчитываемости

Многообразие является метризуемым тогда и только тогда, когда оно паракомпактно. Длинная линия является примером нормального хаусдорфова 1-мерного топологического многообразия, которое не является ни метризуемым, ни паракомпактным. Поскольку метризуемость – столь желаемое свойство для топологического пространства, к определению многообразия часто добавляют требование паракомпактности. В любом случае, непаракомпактные многообразия обычно рассматриваются как патологические. Длинная линия служит примером непаракомпактного многообразия. Паракомпактные многообразия обладают всеми топологическими свойствами метрических пространств. В частности, они являются вполне нормальными пространствами Хаусдорфа. Также обычно требуется, чтобы многообразия были счетно вторичными. Это как раз необходимое условие для того, чтобы многообразие могло быть вложено в некоторое конечномерное евклидово пространство. Для любого многообразия свойства счетной вторичности, Линделёфа и σ-компактности эквивалентны. Каждое счетно вторичное многообразие паракомпактно, но не наоборот. Однако обратное утверждение почти верно: паракомпактное многообразие счетно вторично тогда и только тогда, когда оно имеет счетное число связных компонент. В частности, связное многообразие паракомпактно тогда и только тогда, когда оно счетно вторично. Каждое счетно вторичное многообразие является разделимым и паракомпактным. Более того, если многообразие разделимо и паракомпактно, то оно также счетно вторично. Каждое компактное многообразие счетно вторично и паракомпактно.

Размерность

По инвариантности домена, непустое n-многообразие не может быть m-многообразием при n ≠ m. Размерность непустого n-многообразия равна n. Являясь n-многообразием, является топологическим свойством, то есть любое топологическое пространство, гомеоморфное n-многообразию, также является n-многообразием.

Общий n-манифолд

Известно, что полная классификация n-многообразий при n больше трёх невозможна; она по крайней мере столь же сложна, как и задача о слове в теории групп, которая, как известно, алгоритмически неразрешима. Фактически, не существует алгоритма для определения, является ли данное многообразие односвязным. Однако классификация односвязных многообразий размерности ≥ 5 существует.

Манифолы с границей

Иногда полезно использовать несколько более общую концепцию. Топологическое многообразие с границей — это пространство Хаусдорфа, в котором для каждой точки существует окрестность, гомеоморфная открытому подмножеству евклидова полупространства (для фиксированного n):

Любое топологическое многообразие является топологическим многообразием с границей, но не наоборот.

Диссойветный союз

Разъединенное объединение счетного семейства n-многообразий является n-многообразием (все части должны быть одной и той же размерности).

Соединенная сумма

Соединенная сумма двух n-многообразий определяется удалением открытого шара из каждого многообразия и взятием факторпространства непересекающегося объединения полученных многообразий с границей, при этом факторизация производится относительно гомеоморфизма между граничными сферами удалённых шаров. В результате получается другое n-многообразие.

Подмножественность

Любое открытое подмножество n-многообразия является n-многообразием с индуцированной топологией.