Введение

Математическая модель финансовых рынков

Модель Блэка — Шоулза, /b//l//æ//k// /'/ʃ//oʊ//l//z/ или модель Блэка — Шоулза — Мертона, — это математическая модель динамики финансового рынка, содержащая производные инвестиционные инструменты. Из параболического дифференциального уравнения в модели, известного как уравнение Блэка — Шоулза, можно вывести формулу Блэка — Шоулза, которая дает теоретическую оценку цены европейских опционов и показывает, что опцион имеет уникальную цену, определяемую риском базового актива и его ожидаемой доходностью (вместо использования нейтральной к риску ставки). Уравнение и модель названы в честь экономистов Фишера Блэка и Майрона Шоулза. Иногда заслуги также приписывают Роберту К. Мертону, который первым опубликовал академическую работу на эту тему. Основной принцип модели заключается в хеджировании опциона путем покупки и продажи базового актива определенным образом для устранения риска. Этот тип хеджирования называется «непрерывно пересматриваемым дельта-хеджированием» и является основой более сложных стратегий хеджирования, используемых инвестиционными банками и хедж-фондами. Модель широко используется участниками рынка опционов, хотя часто с некоторыми корректировками. Предположения модели были смягчены и обобщены во многих направлениях, что привело к появлению множества моделей, которые в настоящее время используются для ценообразования производных финансовых инструментов и управления рисками. Выводы модели, иллюстрируемые формулой Блэка — Шоулза, часто используются участниками рынка, в отличие от фактических цен. Эти выводы включают границы арбитража и ценообразование, не зависящее от риска (благодаря непрерывной переоценке). Кроме того, уравнение Блэка — Шоулза, частное дифференциальное уравнение, определяющее цену опциона, позволяет использовать численные методы для ценообразования, когда аналитическое решение невозможно. Формула Блэка — Шоулза имеет только один параметр, который нельзя непосредственно наблюдать на рынке: среднюю будущую волатильность базового актива, хотя его можно вывести из цен других опционов. Поскольку стоимость опциона (пут или колл) возрастает с увеличением этого параметра, его можно инвертировать для построения «поверхности волатильности», которая затем используется для калибровки других моделей, например, для внебиржевых производных инструментов.

История

Экономисты Фишер Блэк и Майрон Скоулз продемонстрировали в 1968 году, что динамическое перебалансирование портфеля исключает ожидаемую доходность актива, тем самым создав концепцию нейтральности к риску. В своей работе они опирались на исследования, ранее проведенные аналитиками рынка и практиками, включая Луи Башелье, Шина Кассуфа и Эдварда О. Торпа. Затем Блэк и Скоулз попытались применить формулу к реальным рынкам, но понесли финансовые убытки из-за недостаточного управления рисками в своих операциях. В 1970 году они приняли решение вернуться в академическую среду. После трех лет работы формула, названная в их честь за публикацию, была наконец опубликована в 1973 году в статье "Ценообразование опционов и корпоративных обязательств" в журнале "Journal of Political Economy". Роберт К. Мертон первым опубликовал работу, углубляющую математическое понимание модели ценообразования опционов, и ввел термин "модель ценообразования опционов Блэка — Скоулза". Эта формула привела к буму торговли опционами и обеспечила математическое обоснование деятельности Чикагской опционной биржи и других опционных рынков по всему миру. В 1997 году Мертон и Скоулз были удостоены Нобелевской мемориальной премии по экономическим наукам за их работу, при этом комитет отметил их открытие динамического перебалансирования с нейтральным отношением к риску как прорыв, отделяющий опцион от риска базового актива. Хотя Блэк не мог быть удостоен премии из-за своей смерти в 1995 году, Шведская академия отметила его вклад.

Интерпретация

Можно иметь интуитивные интерпретации формулы Блэка-Шоулса, при этом основная сложность заключается в интерпретации и в понимании того, почему присутствуют два различных слагаемых. Для дальнейшего обсуждения и графического представления обратитесь к методу Датара-Мэтьюса для оценки реальных опционов. Эквивалентная мартингальная мера вероятностей также называется нейтральной к риску мерой вероятностей. Важно отметить, что оба эти показателя являются вероятностями в смысле теории меры, и ни один из них не представляет собой истинную вероятность истечения срока действия опциона в прибыли, рассчитанную с использованием реальной меры вероятностей. Для вычисления вероятности в рамках реальной ("физической") меры вероятностей требуется дополнительная информация – дрейф в физической мере или, что эквивалентно, премия за риск.

Выводы

Стандартное выведение для решения уравнения Блэка — Шоулза приведено в статье «Уравнение Блэка — Шоулза». Формула Фейнмана — Каца утверждает, что решение этого типа уравнения в частных производных, при соответствующем дисконтировании, фактически является мартингейлом. Следовательно, цена опциона представляет собой математическое ожидание дисконтированной выплаты по опциону. Вычисление цены опциона через это ожидание является подходом, основанным на нейтральности к риску, и может быть выполнено без знания уравнений в частных производных. Важно отметить, что математическое ожидание выплаты по опциону вычисляется не относительно реальной меры вероятности, а относительно искусственной нейтральной к риску меры, которая отличается от реальной. Логическое обоснование этого подхода можно найти в разделе «Нейтральная оценка стоимости» в статье «Рациональное ценообразование», а также в разделе «Ценообразование деривативов: мир Q» в статье «Математические финансы»; для получения подробной информации, обратитесь к Халлу.

Расширения модели

Вышеуказанная модель может быть расширена на случай переменных (но детерминированных) процентных ставок и волатильности. Эту модель также можно использовать для оценки европейских опционов на инструменты, приносящие дивиденды. В этом случае, если дивиденд представляет собой известную долю от цены акции, существуют аналитические решения. Оценка американских опционов и опционов на акции, выплачивающие фиксированную денежную сумму в качестве дивиденда (что в краткосрочной перспективе более реалистично, чем пропорциональный дивиденд), является более сложной задачей, и для ее решения доступен ряд методов (например, решетки и сетки).

Американские опционы

Проблема определения цены американского опциона связана с задачей оптимальной остановки, определяющей время исполнения опциона. Поскольку американский опцион может быть исполнен в любой момент до даты истечения срока действия, уравнение Блэка-Шоулса превращается в вариационное неравенство вида:

вместе с , где обозначает выплату при цене акции и задается конечное условие: В общем случае это неравенство не имеет аналитического решения, однако американский колл без дивидендов эквивалентен европейскому коллу, а метод Ролла-Геске-Уэйли предоставляет решение для американского колла с одним дивидендом; см. также приближение Блэка. Формула Бароне-Адези и Уэйли является дальнейшим приближением. Здесь стохастическое дифференциальное уравнение (применимое для оценки любого производного инструмента) разделяется на два компонента: стоимость европейского опциона и премия за досрочное исполнение. При определенных допущениях получается квадратичное уравнение, которое аппроксимирует решение для последнего. Это решение включает в себя нахождение критического значения , при котором равнодушно между досрочным исполнением и удержанием опциона до истечения срока действия. Бьерксунд и Стенсланд предлагают приближение, основанное на стратегии исполнения, соответствующей цене срабатывания. В этом случае, если цена базового актива больше или равна цене срабатывания, оптимально исполнить опцион, и его стоимость должна быть равна , иначе опцион "сводится к: (i) европейскому опциону колл с барьером вверх и (ii) возмещению, которое выплачивается в дату срабатывания барьера, если опцион был сбит до даты истечения срока действия". Формула легко модифицируется для оценки опциона пут, используя паритет пут-колл. Это приближение вычислительно эффективно, а метод быстр, и имеются данные, свидетельствующие о том, что это приближение может быть более точным при ценообразовании долгосрочных опционов, чем приближение Бароне-Адези и Уэйли.

Вечная пута

Несмотря на отсутствие общего аналитического решения для американских опционов пут, возможно вывести такую формулу для случая бессрочного опциона, то есть опциона, который никогда не истекает. В этом случае временной распад опциона равен нулю, что приводит к тому, что PDE Блэка — Шоулза превращается в ОДУ: Пусть обозначает нижнюю границу исполнения, ниже которой оптимально исполнять опцион. Граничные условия:Решения ОДУ являются линейной комбинацией любых двух линейно независимых решений:Для , подстановка этого решения в ОДУ для дает:Перегруппировка членов дает:Используя квадратную формулу, решения для будут:Чтобы получить конечное решение для бессрочного пута, поскольку граничные условия подразумевают конечные верхнюю и нижнюю границы значения пута, необходимо установить , что приводит к решению Из первого граничного условия известно, что:Следовательно, значение бессрочного пута становится:Второе граничное условие определяет местоположение нижней границы исполнения:Таким образом, для , бессрочный американский опцион пут стоит:

Бинарные опционы

Решая дифференциальное уравнение Блэка-Шоулса с функцией Хевисайда в качестве граничного условия, можно получить формулу для оценки опционов, выплачивающих одну единицу при превышении заранее определенной цены исполнения и ничего при ее не достижении. Фактически, формула Блэка-Шоулса для цены ванильного колл-опциона (или пут-опциона) может быть интерпретирована как разложение колл-опциона на опцион колл на актив или ничего, минус опцион колл на денежные средства или ничего, и аналогично для пут-опциона. Бинарные опционы проще анализировать и соответствуют двум слагаемым в формуле Блэка-Шоулса.

Позвонив в банк , вы получите деньги или ничего .

Это выплачивает одну денежную единицу, если цена базового актива на момент погашения выше цены исполнения. Его стоимость определяется следующим образом:

Поставка "денежные средства или ничего"

Это выплачивает одну денежную единицу, если цена базового актива на момент погашения ниже страйк-цены. Его стоимость определяется следующим образом:

Покупка активов или ничего

Это выплачивает одну единицу актива, если цена актива на момент истечения срока действия опциона выше цены исполнения. Его стоимость определяется следующим образом:

Поставка актива или ничего

Это выплачивает одну единицу актива, если цена актива на момент истечения срока действия опциона ниже страйк-цены. Его стоимость определяется следующим образом:

Отношение к ванильным опционам

Поскольку бинарный опцион является математической производной ванильного опциона по цене исполнения, цена бинарного опциона имеет ту же форму, что и дельта ванильного опциона, а дельта бинарного опциона имеет ту же форму, что и гамма ванильного опциона.

Оценка опционов на облигации

Модель Блэка — Шоулза нельзя напрямую применять к облигациям из-за эффекта притяжения к номинальной стоимости. По мере приближения срока погашения облигации все связанные с ней цены становятся известными, что снижает её волатильность, и простая модель Блэка — Шоулза не учитывает этот процесс. Для решения этой проблемы было разработано множество расширений модели Блэка — Шоулза, начиная с модели Блэка. См. .

Кривая процентных ставок

На практике процентные ставки не являются постоянными – они меняются в зависимости от срока (частоты выплаты купонов), формируя кривую процентных ставок, которую можно интерполировать для выбора подходящей ставки при использовании формулы Блэка-Шоулза. Кроме того, процентные ставки меняются со временем. Эта волатильность может существенно влиять на цену, особенно опционов с длительным сроком погашения. Это аналогично обратно пропорциональной зависимости между процентными ставками и ценами на облигации.

Курс коротких позиций

Открытие короткой позиции по акциям, что присуще производным финансовым инструментам, как правило, связано с затратами; аналогично, длинную позицию по акциям можно передать в аренду за небольшую плату. В любом из этих случаев это можно рассматривать как непрерывный дивиденд при расчете стоимости по модели Блэка — Шоулза, при условии отсутствия существенной асимметрии между стоимостью заимствования акций для короткой позиции и доходом от предоставления акций в аренду для длинной позиции.

Критика и комментарии

Эспен Гардер Хауг и Нассим Николас Талеб утверждают, что модель Блэка-Шоулса лишь переформулирует существующие широко используемые модели в терминах практически невозможного "динамического хеджирования", а не "риска", чтобы сделать их более совместимыми с общепринятой неоклассической экономической теорией. Они также утверждают, что Бонесс в 1964 году уже опубликовал формулу, которая "фактически идентична" уравнению ценообразования опциона колл Блэка-Шоулса. Эдвард Торп также заявляет, что угадал формулу Блэка-Шоулса в 1967 году, но сохранил ее в тайне, чтобы заработать деньги для своих инвесторов. Эммануэль Дерман и Талеб также критиковали динамическое хеджирование и утверждают, что ряд исследователей предложили аналогичные модели еще до Блэка и Шоулса. В ответ Пол Уилмот защищал модель. В своем письме акционерам Berkshire Hathaway в 2008 году Уоррен Баффетт написал: "Я считаю, что формула Блэка-Шоулса, хотя и является стандартом для определения стоимостной ответственности по опционам, дает странные результаты при оценке долгосрочных опционов. Формула Блэка-Шоулса приблизилась к статусу священного писания в финансах. Однако, при применении формулы к расширенным временным периодам, она может давать абсурдные результаты. Справедливости ради, Блэк и Шоулс, почти наверняка, хорошо понимали это. Но их преданные последователи, возможно, игнорируют любые оговорки, которые эти двое авторов сделали при первой публикации формулы". Британский математик Иэн Стюарт, автор книги 2012 года под названием "В погоне за неизвестным: 17 уравнений, изменивших мир", заявил, что Блэк-Шоулс "послужил основой для огромного экономического роста", и к 2007 году "международная финансовая система торговала деривативами на сумму в один квадриллион долларов в год". Он сказал, что уравнение Блэка-Шоулса было "математическим обоснованием торговли", и, следовательно, "одним из ингредиентов в сложном сочетании финансовой безответственности, политической некомпетентности, искаженных стимулов и слабого регулирования", что способствовало финансовому кризису 2007–2008 годов. Он уточнил, что "сама по себе формула не была реальной проблемой", а злоупотребление ею в финансовой индустрии. При работе с опционами, базовый актив которых может стать отрицательным, специалисты могут использовать другую модель, такую как модель Башелье, или просто добавить постоянный сдвиг к ценам.

Основные ссылки

(Оригинальная работа Блэка и Скоулса.)

Исторические и социологические аспекты

Дерман, Эммануэль. "Моя жизнь как квант" John Wiley & Sons, Inc. 2004. Мандельброт и Хадсон, "Поведение рынков (и его искажения)" Basic Books, 2006. Шпиро, Джордж Г., Оценка будущего: финансы, физика и 300-летнее путешествие к уравнению Блэка — Шолса; История гения и открытия (Нью-Йорк: Basic, 2011) 298 с. Талеб, Нассим. "Динамическое хеджирование" John Wiley & Sons, Inc. 1997. Торп, Эд. "Человек, покоривший все рынки" Random House, 2017.

Вывод и решение

Решение уравнения Блэка — Шоулса с использованием функции Грина, профессор Деннис Сильверман. Пояснительная статья математика Теренса Тао об уравнении Блэка — Шоулса.