Универсальность дзета-функции Римана и аппроксимация голоморфных функций.

Введение

В математике универсальность дзета-функций — это замечательная способность дзета-функции Римана и других подобных функций (таких как L-функции Дирихле) произвольно хорошо приближать произвольные ненулевые голоморфные функции. Универсальность дзета-функции Римана была впервые доказана Ворониным, Сергеем Михайловичем в 1975 году и иногда называется теоремой об универсальности Воронина.

Обсуждение

Условие, что комплемент U связен, по существу означает, что U не содержит никаких отверстий. Интуитивное значение первого утверждения заключается в следующем: можно переместить U некоторым вертикальным смещением it так, чтобы функция f на U была приближена функцией дзета на смещенной копии U, с точностью ε. Функция f не должна иметь нулей на U. Это важное ограничение; если мы начнем с голоморфной функции с изолированным нулем, то любая "близкая" голоморфная функция также будет иметь ноль. Согласно гипотезе Римана, функция дзета Римана не имеет нулей в рассматриваемой полосе, и поэтому она не может приблизить такую функцию. Функция 1=f(s) = 0, которая тождественно равна нулю на U, может быть приближена дзета-функцией: мы можем сначала выбрать "близкую" функцию 1=g(s) = ε/2 (которая является голоморфной и не имеет нулей) и найти вертикальное смещение, такое что дзета-функция приближает g с точностью ε/2, и, следовательно, f с точностью ε. Сопровождающий рисунок показывает функцию дзета на представительной части соответствующей полосы. Цвет точки s кодирует значение ζ(s) следующим образом: оттенок представляет аргумент ζ(s), при этом красный обозначает положительные вещественные значения, а затем против часовой стрелки – желтый, зеленый, голубой, синий и фиолетовый. Яркие цвета обозначают значения, близкие к 0 (черный = 0), бледные цвета обозначают значения, далекие от 0 (белый = ∞). На рисунке показаны три нуля функции дзета, приблизительно в точках 1/2 + 103.7i, 1/2 + 105.5i и 1/2 + 107.2i. Теорема Воронина, по сути, утверждает, что эта полоса содержит все возможные "аналитические" цветовые узоры, которые не используют черный или белый. Грубое значение утверждения о нижней плотности заключается в следующем: если заданы функция f и ε > 0, то существует положительная вероятность того, что случайно выбранное вертикальное смещение даст приближение f с точностью ε. Внутренность U может быть пуста, в этом случае не требуется, чтобы f была голоморфной. Например, если мы возьмем U за отрезок прямой, то непрерывная функция f: U → C является кривой на комплексной плоскости, и мы видим, что функция дзета кодирует каждую возможную кривую (то есть любую фигуру, которую можно нарисовать, не отрывая карандаш) с произвольной точностью на рассматриваемой полосе. Теорема, как сформулирована, применима только к областям U, которые содержатся в полосе. Однако, если мы допустим сдвиги и масштабирование, мы также можем найти закодированные в функциях дзета приближенные версии всех ненулевых голоморфных функций, определенных на других областях. В частности, поскольку сама функция дзета является голоморфной, версии самой себя кодируются внутри нее в разных масштабах, что является характерной чертой фрактала. Удивительный характер теоремы можно суммировать следующим образом: функция дзета Римана содержит "все возможные поведения" внутри себя и, таким образом, в некотором смысле "хаотична", хотя это совершенно гладкая аналитическая функция с простым определением.

The condition that the complement of U be connected essentially means that U does not contain any holes. The intuitive meaning of the first statement is as follows: it is possible to move U by some vertical displacement it so that the function f on U is approximated by the zeta function on the displaced copy of U, to an accuracy of ε. The function f is not allowed to have any zeros on U. This is an important restriction; if we start with a holomorphic function with an isolated zero, then any "nearby" holomorphic function will also have a zero. According to the Riemann hypothesis, the Riemann zeta function does not have any zeros in the considered strip, and so it couldn't possibly approximate such a function. The function 1=f(s) = 0 which is identically zero on U can be approximated by ζ: we can first pick the "nearby" function 1=g(s) = ε/2 (which is holomorphic and does not have zeros) and find a vertical displacement such that ζ approximates g to accuracy ε/2, and therefore f to accuracy ε. The accompanying figure shows the zeta function on a representative part of the relevant strip. The color of the point s encodes the value ζ(s) as follows: the hue represents the argument of ζ(s), with red denoting positive real values, and then counterclockwise through yellow, green cyan, blue and purple. Strong colors denote values close to 0 (black = 0), weak colors denote values far away from 0 (white = ∞). The picture shows three zeros of the zeta function, at about 1/2 + 103.7i, 1/2 + 105.5i and 1/2 + 107.2i. Voronin's theorem essentially states that this strip contains all possible "analytic" color patterns that do not use black or white. The rough meaning of the statement on the lower density is as follows: if a function f and an ε > 0 are given, then there is a positive probability that a randomly picked vertical displacement it will yield an approximation of f to accuracy ε. The interior of U may be empty, in which case there is no requirement of f being holomorphic. For example, if we take U to be a line segment, then a continuous function f : U → C is a curve in the complex plane, and we see that the zeta function encodes every possible curve (i. e., any figure that can be drawn without lifting the pencil) to arbitrary precision on the considered strip. The theorem as stated applies only to regions U that are contained in the strip. However, if we allow translations and scalings, we can also find encoded in the zeta functions approximate versions of all non vanishing holomorphic functions defined on other regions. In particular, since the zeta function itself is holomorphic, versions of itself are encoded within it at different scales, the hallmark of a fractal. The surprising nature of the theorem may be summarized in this way: the Riemann zeta function contains "all possible behaviors" within it, and is thus "chaotic" in a sense, yet it is a perfectly smooth analytic function with a straightforward definition.

Универсальность других функций зета

Была проведена работа, показывающая, что универсальность распространяется на дзета-функции Сельберга. Функции Дирихле L демонстрируют не только универсальность, но и определенный вид совместной универсальности, позволяющий любому набору функций быть приближенным одним и тем же значением *t* в различных функциях L, где каждая функция, подлежащая приближению, сопоставляется с другой функцией L. Аналогичное свойство универсальности было показано для дзета-функции Лерха, по крайней мере, когда параметр α является трансцендентным числом. Также было показано, что части дзета-функции Лерха обладают формой совместной универсальности.