Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада, зетта функцияларының әмбебаптығы – Риманның зетта функциясы және оған ұқсас функциялардың (мысалы, Дирихлеттің L-функциялары) кез келген нөлдік емес голоморфтық функцияны кез келген дәлдікпен жақсы жуықтау қабілеті. Риманның зетта функциясының әмбебаптығын алғаш 1975 жылы Сергей Михайлович Воронин дәлелдеген, және бұл кейде Ворониннің әмбебаптық теоремасы деп аталады.
In mathematics, the universality of zeta functions is the remarkable ability of the Riemann zeta function and other similar functions (such as the Dirichlet L functions) to approximate arbitrary non vanishing holomorphic functions arbitrarily well. The universality of the Riemann zeta function was first proven by Воронин, Сергей Михайлович in 1975 and is sometimes known as Voronin's universality theorem.
Талқылау
U-ның толықтығының байланысты болу шарты U-да тесіктердің жоқ екенін білдіреді. Бірінші мәлімдеменің түсінікті мағынасы мынадай: U-ді кейбір тік ығыстыру арқылы жылжытуға болады, сонда U-дегі f функциясы, ығыстырылған U көшірмесіндегі ζ функциясымен ε дәлдігіне дейін жуықталады. f функциясы U-да нөлдерге ие болмауы керек. Бұл маңызды шектеу; егер біз оқшауланған нөлге ие болжамды функциядан бастасақ, онда кез келген «жақын» болжамды функцияда да нөл болады. Риман гипотезасына сәйкес, Риманның ζ функциясы қарастырылып отырған жолақта нөлдерге ие емес, сондықтан мұндай функцияны жуықтастыра алмайды. U-де нөлге тең f(s) = 0 функциясын ζ арқылы жуықтастыруға болады: бірінші кезекте, g(s) = ε/2 «жақын» функциясын (ол болжамды және нөлдері жоқ) таңдап, ζ функциясы g-ге ε/2 дәлдігіне дейін жуықтасатын тік ығыстыруды табамыз, демек f-ке ε дәлдігіне дейін. Қоса берілген суретте тиісті жолақтың өкілді бөлігіндегі ζ функциясы көрсетілген. s нүктесінің түсі ζ(s) мәнін келесідей кодтайды: түс ζ(s) аргументін көрсетеді, қызыл оң нақты мәндерді білдіреді, содан кейін сары, жасыл, көк және күлгін түстер арқылы сағат тіліне қарсы бағытта. Қара түс 0-ге жақын мәндерді (қара = 0), ақ түс 0-ден алыс мәндерді (ақ = ∞) көрсетеді. Суретте ζ функциясының үш нөлі шамамен 1/2 + 103.7i, 1/2 + 105.5i және 1/2 + 107.2i орналасқан. Воронин теоремасы негізінде, бұл жолақта қара немесе ақ түстерді қолданбайтын барлық мүмкін «талдамалық» түс үлгілері бар. Төменгі тығыздық туралы мәлімдеменің шамамен мағынасы мынадай: егер f функциясы және ε > 0 берілген болса, онда кездейсоқ таңдалған тік ығыстырудың f-ке ε дәлдігіне дейін жуықтау ықтималдығы оң болады. U-дың ішкі бөлігі бос болуы мүмкін, онда f-тің болжамды болуы талап етілмейді. Мысалы, егер U-ді сызық сегменті ретінде алсақ, онда үздіксіз функция f: U → C күрделі жазықтықтағы қисық болады, және ζ функциясы қарастырылатын жолақта кез келген қисықты (яғни қарындашты көтермей салуға болатын кез келген фигураны) кез келген дәлдікпен кодтайтынын көреміз. Мәлімделген теорема тек жолақта орналасқан U аймақтарына ғана қолданылады. Алайда, егер біз аудармалар мен масштабтауға рұқсат берсек, ζ функцияларында басқа аймақтарда анықталған, нөлдік емес болжамды функциялардың жуық нұсқаларын да табуға болады. Атап айтқанда, ζ функциясының өзі болжамды болғандықтан, оның нұсқалары әртүрлі масштабтарда кодталған, бұл фракталдың белгісі. Теореманың таң қалдыратын сипатын былай қорытындылауға болады: Риманның ζ функциясы өз ішінде «барлық мүмкін мінез-құлықтарды» қамтиды, сондықтан ол белгілі бір мағынада «хаотикалық», бірақ ол тікелей анықтамасы бар өте тегіс талдамалық функция.
The condition that the complement of U be connected essentially means that U does not contain any holes. The intuitive meaning of the first statement is as follows: it is possible to move U by some vertical displacement it so that the function f on U is approximated by the zeta function on the displaced copy of U, to an accuracy of ε. The function f is not allowed to have any zeros on U. This is an important restriction; if we start with a holomorphic function with an isolated zero, then any "nearby" holomorphic function will also have a zero. According to the Riemann hypothesis, the Riemann zeta function does not have any zeros in the considered strip, and so it couldn't possibly approximate such a function. The function 1=f(s) = 0 which is identically zero on U can be approximated by ζ: we can first pick the "nearby" function 1=g(s) = ε/2 (which is holomorphic and does not have zeros) and find a vertical displacement such that ζ approximates g to accuracy ε/2, and therefore f to accuracy ε. The accompanying figure shows the zeta function on a representative part of the relevant strip. The color of the point s encodes the value ζ(s) as follows: the hue represents the argument of ζ(s), with red denoting positive real values, and then counterclockwise through yellow, green cyan, blue and purple. Strong colors denote values close to 0 (black = 0), weak colors denote values far away from 0 (white = ∞). The picture shows three zeros of the zeta function, at about 1/2 + 103.7i, 1/2 + 105.5i and 1/2 + 107.2i. Voronin's theorem essentially states that this strip contains all possible "analytic" color patterns that do not use black or white. The rough meaning of the statement on the lower density is as follows: if a function f and an ε > 0 are given, then there is a positive probability that a randomly picked vertical displacement it will yield an approximation of f to accuracy ε. The interior of U may be empty, in which case there is no requirement of f being holomorphic. For example, if we take U to be a line segment, then a continuous function f : U → C is a curve in the complex plane, and we see that the zeta function encodes every possible curve (i. e., any figure that can be drawn without lifting the pencil) to arbitrary precision on the considered strip. The theorem as stated applies only to regions U that are contained in the strip. However, if we allow translations and scalings, we can also find encoded in the zeta functions approximate versions of all non vanishing holomorphic functions defined on other regions. In particular, since the zeta function itself is holomorphic, versions of itself are encoded within it at different scales, the hallmark of a fractal. The surprising nature of the theorem may be summarized in this way: the Riemann zeta function contains "all possible behaviors" within it, and is thus "chaotic" in a sense, yet it is a perfectly smooth analytic function with a straightforward definition.
Басқа zeta функцияларының әмбебаптығы
Сельберг зета функцияларына да қатысты әмбебаптылықты көрсететін жұмыстар жасалды. Дирихле L функциялары әмбебаптылықты ғана емес, сонымен қатар, әр түрлі L функцияларындағы t-ның бірдей мәні арқылы кез келген функциялар жиынының жуықталуын қамтамасыз ететін, белгілі бір бірлескен әмбебаптылықты көрсетеді, мұнда әр жуықтауға арналған функция әртүрлі L функциясымен жұптастырылады. Лерх зета функциясы үшін де ұқсас әмбебап қасиет көрсетілді, әсіресе α параметрі трансцендентті сан болған жағдайда. Лерх зета функциясының бөлімдері де бірлескен әмбебаптылықтың бір түрін көрсеткенін атап өткен жөн.
Work has been done showing that universality extends to Selberg zeta functions. The Dirichlet L functions show not only universality, but a certain kind of joint universality that allow any set of functions to be approximated by the same value(s) of t in different L functions, where each function to be approximated is paired with a different L function. A similar universality property has been shown for the Lerch zeta function , at least when the parameter α is a transcendental number. Sections of the Lerch zeta function have also been shown to have a form of joint universality.