Манускрипт Ньютона «О движении тел по орбите» и выведение законов Кеплера

Введение

1684 документ Исаака Ньютона, содержащий математические выводы законов Кеплера.

«De motu corporum in gyrum» (от латинского: «О движении тел по орбите»; сокращенно «De Motu») — предполагаемое название рукописи Исаака Ньютона, отправленной Эдмонду Галлею в ноябре 1684 года. Рукопись была написана после визита Галлея ранее в том же году, когда он задал Ньютону вопросы о проблемах, которые тогда волновали Галлея и его научный круг в Лондоне, включая сэра Кристофера Рена и Роберта Гука. В этой рукописи представлены важные математические выводы, относящиеся к трем зависимостям, ныне известным как «законы Кеплера о движении планет» (до работ Ньютона они не рассматривались как общепризнанные научные законы). Галлей сообщил о результатах работы Ньютона в Королевское общество 10 декабря 1684 года (по юлианскому календарю). После дальнейших побуждений со стороны Галлея Ньютон продолжил разработку и написание своей книги «Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica» (обычно известной как «Principia»), основываясь на ядре, которое можно найти в «De Motu», — почти всё содержание которого также присутствует в «Principia».

Теорема 1

Теорема 1 доказывает, что если на обращающееся тело действует только центростремительная сила, то радиус-вектор, проведенный от тела к центру притяжения, заметает равные площади за равные промежутки времени (независимо от того, как центростремительная сила изменяется с расстоянием). (Ньютон использует для этого вывода – как и в последующих доказательствах в этом «О движении», а также во многих частях более поздних «Математических начал натуральной философии» – предельный аргумент дифференциального исчисления в геометрической форме, в котором площадь, заметаемая радиус-вектором, разбивается на треугольные секторы. Эти секторы имеют малый и уменьшающийся размер, рассматриваются как стремящиеся к нулю по отдельности, в то время как их число неограниченно возрастает.) Эта теорема вновь появляется, с более подробным объяснением, в «Математических началах натуральной философии» как Предложение 1, Теорема 1.

Теорема 2

Теорема 2 рассматривает тело, движущееся равномерно по круговой орбите, и показывает, что для любого заданного временного интервала центростремительная сила (направленная к центру круга, рассматриваемая здесь как центр притяжения) пропорциональна квадрату пройденной длины дуги и обратно пропорциональна радиусу. (Этот вопрос вновь возникает как предложение 4, теорема 4 в «Математических началах натуральной философии» [Principia], и корреляты к ней также появляются здесь.) Следствие 1 затем указывает, что центростремительная сила пропорциональна V²/R, где V – орбитальная скорость, а R – радиус окружности. Следствие 2 показывает, что, выражаясь иначе, центростремительная сила пропорциональна (1/P²) * R, где P – орбитальный период. Следствие 3 показывает, что если P² пропорционально R, то центростремительная сила была бы независима от R. Следствие 4 показывает, что если P² пропорционально R², то центростремительная сила была бы пропорциональна 1/R. Следствие 5 показывает, что если P² пропорционально R³, то центростремительная сила была бы пропорциональна 1/R². В заключение отмечается, что соотношение, установленное в Следствии 5 (квадрат орбитального периода пропорционален кубу размера орбиты), наблюдается для планет на их орбитах вокруг Солнца и для галилеевых спутников, обращающихся вокруг Юпитера.

Теорема 3

Теорема 3 теперь оценивает центростремительную силу на некруговой орбите, используя другой геометрический аргумент, включающий соотношения бесконечно малых отрезков линии. Доказательство сводится к оценке кривизны орбиты, как если бы она состояла из бесконечно малых дуг, а центростремительная сила в любой точке вычисляется на основе скорости и кривизны локальной бесконечно малой дуги. Эта тема вновь появляется в "Principia" как предложение 6 Книги 1. Затем следствие указывает на то, как таким образом можно определить центростремительную силу для любой заданной формы орбиты и центра. Задача 1 затем исследует случай круговой орбиты, предполагая, что центр притяжения находится на окружности. Сколиум указывает, что если обращающееся тело достигнет такого центра, оно затем отклонится вдоль касательной. (Предложение 7 в "Principia".) Задача 2 исследует случай эллипса, где центр притяжения находится в его центре, и обнаруживает, что центростремительная сила, необходимая для движения в этой конфигурации, будет прямо пропорциональна радиус-вектору. (Этот материал становится предложением 10, проблемой 5 в "Principia".) Задача 3 снова исследует эллипс, но теперь рассматривает случай, когда центр притяжения находится в одном из его фокусов. "Тело движется по эллипсу: требуется закон центростремительной силы, направленной к фокусу эллипса". Здесь Ньютон находит, что центростремительная сила, необходимая для движения в этой конфигурации, будет обратно пропорциональна квадрату радиус-вектора. (Перевод: «Следовательно, центростремительная сила обратно пропорциональна L X SP², то есть (обратно) во удвоенном отношении [т.е. в квадрате] расстояния.») Это становится предложением 11 в "Principia". Затем сколиум указывает, что эта задача 3 доказывает, что планетарные орбиты являются эллипсами, с Солнцем в одном из фокусов. (Перевод: «Поэтому основные планеты движутся по эллипсам, имеющим фокус в центре Солнца, и их радиус-векторы, направленные к Солнцу, описывают площади, пропорциональные времени, в целом (лат. 'omnino'), как предполагал Кеплер.») (Этот вывод достигается после принятия в качестве исходного факта наблюдаемой пропорциональности между квадратом орбитального периода и кубом размера орбиты, рассмотренной в следствии 5 к теореме 1.) (Далее описывается полемика относительно обоснованности этого вывода.) Предмет задачи 3 становится предложением 11, проблемой 6 в "Principia".

Theorem 3 now evaluates the centripetal force in a non circular orbit, using another geometrical limit argument, involving ratios of vanishingly small line segments. The demonstration comes down to evaluating the curvature of the orbit as if it were made of infinitesimal arcs, and the centripetal force at any point is evaluated from the speed and the curvature of the local infinitesimal arc. This subject reappears in the Principia as Proposition 6 of Book 1. A corollary then points out how it is possible in this way to determine the centripetal force for any given shape of orbit and center. Problem 1 then explores the case of a circular orbit, assuming the center of attraction is on the circumference of the circle. A scholium points out that if the orbiting body were to reach such a center, it would then depart along the tangent. (Proposition 7 in the Principia.) Problem 2 explores the case of an ellipse, where the center of attraction is at its center, and finds that the centripetal force to produce motion in that configuration would be directly proportional to the radius vector. (This material becomes Proposition 10, Problem 5 in the Principia.) Problem 3 again explores the ellipse, but now treats the further case where the center of attraction is at one of its foci. "A body orbits in an ellipse: there is required the law of centripetal force tending to a focus of the ellipse." Here Newton finds the centripetal force to produce motion in this configuration would be inversely proportional to the square of the radius vector. (Translation: 'Therefore, the centripetal force is reciprocally as L X SP², that is, (reciprocally) in the doubled ratio [i. e., square] of the distance .') This becomes Proposition 11 in the Principia. A scholium then points out that this Problem 3 proves that the planetary orbits are ellipses with the Sun at one focus. (Translation: 'The major planets orbit, therefore, in ellipses having a focus at the center of the Sun, and with their radii (vectores) drawn to the Sun describe areas proportional to the times, altogether (Latin: 'omnino') as Kepler supposed.') (This conclusion is reached after taking as initial fact the observed proportionality between square of orbital period and cube of orbital size, considered in corollary 5 to Theorem 1.) (A controversy over the cogency of the conclusion is described below.) The subject of Problem 3 becomes Proposition 11, Problem 6, in the Principia.

Теорема 4

Теорема 4 показывает, что при центростремительной силе, обратно пропорциональной квадрату радиус-вектора, время обращения тела по эллиптической орбите с заданной большой осью совпадает со временем обращения того же тела по круговой орбите с диаметром, равным этой большой оси. (Предложение 15 в «Математических началах натуральной философии»). В сноске указано, как это позволяет определять эллипсы планет и положение их фокусов с помощью косвенных измерений. Затем в задаче 4 исследуется, для случая обратного квадрата закона центростремительной силы, как определить орбитальный эллипс по заданному начальному положению, скорости и направлению движущегося тела. Ньютон отмечает здесь, что если скорость достаточно велика, орбита перестает быть эллипсом и становится параболой или гиперболой. Он также определяет геометрический критерий для различения эллиптического случая и остальных, основанный на вычисленном размере малой оси, как пропорциональном расстоянию от движущегося тела в момент наибольшего сближения с центром. (Предложение 17 в «Математических началах натуральной философии»). В сноске далее отмечается, что преимуществом этого доказательства является возможность определения орбит комет и оценки их периодов и возвращений при эллиптических орбитах. Также обсуждаются некоторые практические трудности реализации этого. Наконец, в серии предложений, основанных на отсутствии сопротивления со стороны какой-либо среды, в задаче 5 рассматривается случай вырожденной эллиптической орбиты, сводящейся к прямолинейному падению к притягивающему центру или выбросу из него. (Предложение 32 в «Математических началах натуральной философии»). В сноске указывается, как задачи 4 и 5 могут быть применены к снарядам в атмосфере и к падению тяжелых тел, если пренебречь атмосферным сопротивлением. В заключение Ньютон пытается распространить результаты на случай, когда существует атмосферное сопротивление, рассматривая сначала (задача 6) влияние сопротивления на инерциальное движение по прямой, а затем (задача 7) комбинированное влияние сопротивления и равномерной центростремительной силы на движение к/от центра в однородной среде. Обе задачи решаются геометрически с использованием гиперболических построений. Эти две последние «задачи» повторяются в Книге 2 «Математических начал натуральной философии» в виде предложений 2 и 3. Затем заключительная сноска указывает, как задачи 6 и 7 применимы к горизонтальной и вертикальной составляющим движения снарядов в атмосфере (в этом случае пренебрегая кривизной Земли).

Theorem 4 shows that with a centripetal force inversely proportional to the square of the radius vector, the time of revolution of a body in an elliptical orbit with a given major axis is the same as it would be for the body in a circular orbit with the same diameter as that major axis. (Proposition 15 in the Principia.) A scholium points out how this enables determining the planetary ellipses and the locations of their foci by indirect measurements. Problem 4 then explores, for the case of an inverse square law of centripetal force, how to determine the orbital ellipse for a given starting position, speed, and direction of the orbiting body. Newton points out here, that if the speed is high enough, the orbit is no longer an ellipse, but is instead a parabola or hyperbola. He also identifies a geometrical criterion for distinguishing between the elliptical case and the others, based on the calculated size of the latus rectum, as a proportion to the distance the orbiting body at closest approach to the center. (Proposition 17 in the Principia.) A scholium then remarks that a bonus of this demonstration is that it allows definition of the orbits of comets and enables an estimation of their periods and returns where the orbits are elliptical. Some practical difficulties of implementing this are also discussed. Finally in the series of propositions based on zero resistance from any medium, Problem 5 discusses the case of a degenerate elliptical orbit, amounting to a straight line fall towards or ejection from the attracting center. (Proposition 32 in the Principia.) A scholium points out how problems 4 and 5 would apply to projectiles in the atmosphere and to the fall of heavy bodies, if the atmospheric resistance could be assumed nil. Lastly, Newton attempts to extend the results to the case where there is atmospheric resistance, considering first (Problem 6) the effects of resistance on inertial motion in a straight line, and then (Problem 7) the combined effects of resistance and a uniform centripetal force on motion towards/away from the center in a homogeneous medium. Both problems are addressed geometrically using hyperbolic constructions. These last two 'Problems' reappear in Book 2 of the Principia as Propositions 2 and 3. Then a final scholium points out how problems 6 and 7 apply to the horizontal and vertical components of the motion of projectiles in the atmosphere (in this case neglecting earth curvature).

Комментарии к содержанию

В некоторых местах в "De Motu" Ньютон опирается на то, что доказанные утверждения, используемые на практике, служат основанием для признания их обратных также доказанными. Это особенно заметно в отношении "Проблемы 3". Стиль доказательств Ньютона во всех его работах был местами довольно лаконичным; он, по-видимому, полагал, что определенные шаги будут казаться самоочевидными или очевидными. В "De Motu", как и в первом издании "Principia", Ньютон не указал конкретной основы для распространения доказательств на обратные утверждения. Доказательство обратного здесь основывается на очевидности существования однозначной связи, то есть, на том, что в любой заданной ситуации только одна орбита соответствует одному конкретному и заданному набору силы, скорости и начальной позиции. Ньютон добавил упоминание об этом во второе издание "Principia" в виде следствия к предложениям 11–13, в ответ на критику подобного рода, высказанную при его жизни. Существует значительная научная дискуссия о том, являются ли и в какой степени эти расширения на обратные утверждения и связанные с ними утверждения об однозначности самоочевидными и очевидными. (Не ставится под сомнение истинность обратных утверждений или то, что они были сформулированы Ньютоном; спор касается того, были ли доказательства Ньютона достаточными или нет.)

Вопрос Галлея

Подробности визита Эдмунда Галлея к Ньютону в 1684 году известны нам лишь по воспоминаниям, записанным спустя тридцать-сорок лет. Согласно одному из этих воспоминаний, Галлей спросил Ньютона, какой, по его мнению, будет кривая, описываемая планетами, если предположить, что сила притяжения к Солнцу обратно пропорциональна квадрату их расстояния от него. Другую версию вопроса привел сам Ньютон, но также примерно через тридцать лет после произошедшего: он писал, что Галлей, спрашивая, знаю ли я, какую фигуру описывают планеты на своих орбитах вокруг Солнца, очень хотел получить моё доказательство. Учитывая эти расхождения в рассказах, основанных на давних воспоминаниях, трудно точно установить, какие именно слова использовал Галлей.

Роль Роберта Гука

В 1686 году Ньютон признал, что первоначальный стимул к расширению его исследований движений небесных тел в 1679–1680 годах возник из переписки с Робертом Гуком в 1679–1680 годах. Гук начал обмен письмами в ноябре 1679 года, написав Ньютону, чтобы сообщить о своем назначении руководителем переписки Королевского общества. Гук, таким образом, хотел узнать от членов об их исследованиях или их взглядах на исследования других; и, словно чтобы пробудить интерес Ньютона, он спросил, что Ньютон думает о различных вопросах, а затем представил целый список, упомянув «комбинирование небесных движений планет – прямого движения по касательной и притягательного движения к центральному телу», «мою гипотезу о законах или причинах упругости» и новую гипотезу из Парижа о планетарных движениях (которую Гук подробно описал), а также усилия по проведению или улучшению национальных съемок, разницу в широте между Лондоном и Кембриджем и другие вопросы. Ньютон ответил «своей собственной идеей» об определении движения Земли с использованием падающего тела. Гук не согласился с идеей Ньютона о том, как будет двигаться падающее тело, и завязалась короткая переписка. Позже, в 1686 году, когда «Математические начала натуральной философии» Ньютона были представлены Королевскому обществу, Гук заявил, что часть содержания «Начал» Ньютона восходит к этой переписке, и что Ньютон обязан ему идеей закона обратных квадратов притяжения, хотя в то же время Гук отказался от каких-либо заслуг за кривые и траектории, которые Ньютон продемонстрировал на основе закона обратных квадратов. Ньютон, узнав об этом от Галлея, опроверг претензии Гука в письмах Галлею, признав лишь случай возрождения интереса. Примерно через тридцать лет после смерти Ньютона в 1727 году Алексис Клер, один из первых и выдающихся преемников Ньютона в области гравитационных исследований, после изучения работ Гука написал, что они показали «какое расстояние между истиной, которую можно уловить, и истиной, которую можно доказать».

Newton acknowledged in 1686 that an initial stimulus on him in 1679/80 to extend his investigations of the movements of heavenly bodies had arisen from correspondence with Robert Hooke in 1679/80. Hooke had started an exchange of correspondence in November 1679 by writing to Newton, to tell Newton that Hooke had been appointed to manage the Royal Society's correspondence. Hooke therefore wanted to hear from members about their researches, or their views about the researches of others; and as if to whet Newton's interest, he asked what Newton thought about various matters, and then gave a whole list, mentioning "compounding the celestial motions of the planetts of a direct motion by the tangent and an attractive motion towards the central body", and "my hypothesis of the lawes or causes of springinesse", and then a new hypothesis from Paris about planetary motions (which Hooke described at length), and then efforts to carry out or improve national surveys, the difference of latitude between London and Cambridge, and other items. Newton replied with "a fansy of my own" about determining the Earth's motion, using a falling body. Hooke disagreed with Newton's idea of how the falling body would move, and a short correspondence developed. Later, in 1686, when Newton's Principia had been presented to the Royal Society, Hooke claimed from this correspondence the credit for some of Newton's content in the Principia, and said Newton owed the idea of an inverse square law of attraction to him – although at the same time, Hooke disclaimed any credit for the curves and trajectories that Newton had demonstrated on the basis of the inverse square law. Newton, who heard of this from Halley, rebutted Hooke's claim in letters to Halley, acknowledging only an occasion of reawakened interest. About thirty years after Newton's death in 1727, Alexis Clairaut, one of Newton's early and eminent successors in the field of gravitational studies, wrote after reviewing Hooke's work that it showed "what a distance there is between a truth that is glimpsed and a truth that is demonstrated".