Введение
ТесерактРунцеванный тесеракт (Рунцеванный 16-ячейник)16-ячейникРунцеусеченный тесеракт (Рунцекантеллированный 16-ячейник)Рунцеусеченный 16-ячейник (Рунцекантеллированный тесеракт)Омниусеченный тесеракт (Омниусеченный 16-ячейник)Ортогональные проекции в плоскости B4 Коксетера
В четырехмерной геометрии рунцеванный тесеракт (или рунцеванный 16-ячейник) является выпуклым однородным 4-политопом, представляющим собой рунцинацию (орезание третьего порядка) правильного тесеракта. Существует 4 варианта рунцинаций тесеракта, включая варианты с перестановками, усечениями и кантелляциями.
In four dimensional geometry, a runcinated tesseract (or runcinated 16 cell) is a convex uniform 4 polytope, being a runcination (a 3rd order truncation) of the regular tesseract. There are 4 variations of runcinations of the tesseract including with permutations truncations and cantellations.
Тесиракты, обжитые
Рунцинированный тесеракт Диаграмма Шлегеля с 16 тетраэдрами Тип Правильный 4-мерный политоп Символ Шлефли t0,3{4,3,3} Диаграммы КоксетераКлетки8016 3.3.3 32 3.4.4 32 4.4.4 Грани20864 {3}144 {4}Рёбра192 Вершины64 Вершинная фигура Равносторонний треугольный антиподГруппа симметрииB4, [3,3,4], порядок 384СвойствавыпуклыйУнифицированный индекс14 15 16
Рунцинированный тесеракт, или (малый) диспризматотессерактигексадекахорон, состоит из 16 тетраэдров, 32 кубов и 32 треугольных призм. Каждая вершина является общей для 4 кубов, 3 треугольных призм и одного тетраэдра.
Строительство
Рунцинированный тессеракт может быть построен путем радиального расширения ячеек тессеракта и заполнения образовавшихся промежутков тетраэдрами (вершинные фигуры), кубами (призмы граней) и треугольными призмами (призмы реберных фигур). Применение того же процесса к 16-ячейнику также приводит к получению той же фигуры.
Изображения
+ Диаграмма ШлегеляКаркасКаркас из 16 тетраэдров. Каркас из 32 треугольных призм.
Прогнозы
Куб первой орфографической проекции рунцинированного тессеракта в трехмерном пространстве имеет (малую) ромбикубококтаэдрическую оболочку. Изображения его ячеек расположены внутри этой оболочки следующим образом: ближайший и дальний куб с точки зрения 4-мерного пространства проецируются в кубический объем в центре оболочки. Шесть кубовидных объемов соединяют этот центральный куб с 6 осевыми квадратными гранями ромбикубококтаэдра. Это изображения 12 кубических ячеек (каждая пара кубов использует одно и то же изображение). 18 квадратных граней оболочки являются изображениями остальных кубических ячеек. 12 клиновидных объемов, соединяющих ребра центрального куба с неаксиальными квадратными гранями оболочки, представляют собой изображения 24 треугольных призм (по две ячейки на изображение). 8 треугольных граней оболочки являются изображениями оставшихся 8 треугольных призм. Наконец, 8 тетраэдрических объемов, соединяющих вершины центрального куба с треугольными гранями оболочки, представляют собой изображения 16 тетраэдров (опять же, по две ячейки на изображение). Эта компоновка ячеек в проекции аналогична компоновке граней (малого) ромбикубококтаэдра при проекции в 2 измерения. Ромбикубококтаэдр также строится из куба или октаэдра аналогичным образом, как и рунцинированный тессеракт. Следовательно, рунцинированный тессеракт можно рассматривать как 4-мерный аналог ромбикубококтаэдра.
The nearest and farthest cube from the 4d viewpoint projects to a cubical volume in the center of the envelope. Six cuboidal volumes connect this central cube to the 6 axial square faces of the rhombicuboctahedron. These are the images of 12 of the cubical cells (each pair of cubes share an image). The 18 square faces of the envelope are the images of the other cubical cells. The 12 wedge shaped volumes connecting the edges of the central cube to the non axial square faces of the envelope are the images of 24 of the triangular prisms (a pair of cells per image). The 8 triangular faces of the envelope are the images of the remaining 8 triangular prisms. Finally, the 8 tetrahedral volumes connecting the vertices of the central cube to the triangular faces of the envelope are the images of the 16 tetrahedra (again, a pair of cells per image). This layout of cells in projection is analogous to the layout of the faces of the (small) rhombicuboctahedron under projection to 2 dimensions. The rhombicuboctahedron is also constructed from the cube or the octahedron in an analogous way to the runcinated tesseract. Hence, the runcinated tesseract may be thought of as the 4 dimensional analogue of the rhombicuboctahedron.
Ранцитронированный тессеракт
Рунцитрунгированный тессеракт, рунсикантеллированная 16-ячейка, или призморомбокомбинированный гексадекахрон ограничен 80 ячейками: 8 усеченных кубов, 16 кубооктаэдров, 24 октагональных призм и 32 треугольных призм.
The runcitruncated tesseract, runcicantellated 16 cell, or prismatorhombated hexadecachoron is bounded by 80 cells: 8 truncated cubes, 16 cuboctahedra, 24 octagonal prisms, and 32 triangular prisms.
Изображения
Стереографическая проекция с 128 синими треугольными гранями и 192 зелеными четырехугольными гранями.
Ранцитронированная 16-клеточная
Рунциусечённая 16-ячейка, схемы Шлегеля с центром на ромбикубоктаэдре и усечённом тетраэдре. Тип: однородный 4-политоп. Символ Шлефли: t0,1,3{3,3,4}. Диаграмма Коксетера. Ячейки: 80 (8 3.4.4.4, 16 3.6.6, 24 4.4.4, 32 4.4.6). Грани: 368 (64 {3}, 240 {4}, 64 {6}). Рёбра: 480. Вершины: 192. Вершинная фигура: трапецоидальная пирамида. Группа симметрии: B4, [3,3,4], порядок 384. Свойства: выпуклая. Унифицированный индекс: 19, 20, 21. Рунциусечённая 16-ячейка, рунцикантеллированная тессеракт или призматоркомбинированная тессеракт ограничена 80 ячейками: 8 ромбикубоктаэдрами, 16 усечёнными тетраэдрами, 24 кубами и 32 шестиугольными призмами.
The runcitruncated 16 cell, runcicantellated tesseract, or prismatorhombated tesseract is bounded by 80 cells: 8 rhombicuboctahedra, 16 truncated tetrahedra, 24 cubes, and 32 hexagonal prisms.
Структура
Небольшие ромбикубооктаэдрические ячейки соединены своими 6 аксиальными квадратными гранями с кубическими ячейками и своими 12 неаксиальными квадратными гранями с шестиугольными призмами. Кубические ячейки соединены с ромбикубооктаэдрами через 2 противоположные грани и с шестиугольными призмами через оставшиеся 4 грани. Шестиугольные призмы соединены с усеченными тетраэдрами через свои шестиугольные грани, с ромбикубооктаэдрами через 3 свои квадратные грани и с кубами через другие 3 квадратные грани. Усеченные тетраэдры соединены с ромбикубооктаэдрами через свои треугольные грани, а с шестиугольными призмами – через свои шестиугольные грани.
Всехлопышный тесеракт
Всеобъемлющий тессеракт, Шлегельская диаграмма, центрированная на усеченном кубоктаэдре, показаны усеченные октаэдрические ячейки. Тип: Правильный 4-мерный политоп. Символ Шлефли: t0,1,2,3{3,3,4}. Диаграмма Коксетера. Ячейки: 80 (8 4.6.8, 16 4.6.6, 24 4.4.8, 32 4.4.6). Грани: 464 (288 {4}, 128 {6}, 48 {8}). Рёбра: 768. Вершины: 384. Вершинная фигура: Хиральный неравносторонний тетраэдр. Группа симметрии: B4, [3,3,4], порядок 384. Свойства: выпуклый, индекс единообразия: 20, 21, 22.
Всеобъемлющий тессеракт, всеобъемлющая 16-ячейка, или большая диспризматэтрагексадекахорон ограничен 80 ячейками: 8 усеченных кубоктаэдров, 16 усеченных октаэдров, 24 восьмиугольных призм и 32 гексагональных призм.
Структура
Клетки усеченных кубооктаэдров соединяются с восьмиугольными призмами через их восьмиугольные грани, усеченные октаэдры – через их шестиугольные грани, а шестиугольные призмы – через их квадратные грани. Восьмиугольные призмы соединены с шестиугольными призмами и усеченными октаэдрами через их квадратные грани, а шестиугольные призмы соединены с усеченными октаэдрами через их шестиугольные грани. В матрице конфигурации показаны все количества инциденций между элементами. Диагональные числа вектора f выводятся посредством построения Уайтхоффа, делением полного порядка группы на порядок подгруппы путем последовательного удаления одного зеркала. Ребра существуют в 4 позициях симметрии. Квадраты существуют в 3 позициях, шестиугольники в 2 позициях, а восьмиугольники – в одной. Наконец, 4 типа клеток расположены по углам фундаментального симплекса. B4 k facefkf0 f1f2f3k figureNotes ( )f0 384111111111111114. ( ) B4 = 384A1 { }f12192***11100011103. ( )B4/A1 = 192A1 { }2*192**1001101101B4/A1 = 192A1 { }2**192*0101011011B4/A1 = 192A1 { }2***1920010110111B4/A1 = 192A2 {6}f26330064*****1100 { }B4/A2 = 64A1A1 {4}42020*96****1010B4/A1A1 = 96A1A1 {4}42002**96***0110B4/A1A1 = 96A2 {6}60330***64**1001B4/A2 = 64A1A1 {4}40202****96*0101B4/A1A1 = 96B2 {8}80044*****480011B4/B2 = 48A3 tr{3,3}f324121212046040016***( )B4/A3 = 16A2A1 {6}×{ }126606203030*32**B4/A2A1 = 32B2A1 {8}×{ }168088044002**24*B4/B2A1 = 24B3 tr{4,3}4802424240008126***8B4/B3 = 8
Полный отрезок тесеракта
Полный снуб-тесеракт или омниснуб-тесеракт, определяемый как чередование омниусечённого тесеракта, не может быть сделан однородным, но ему можно задать диаграмму Коксетера и симметрию [4,3,3]+, и он может быть построен из 8 снуб-кубов, 16 икосаэдров, 24 квадратных антипризм, 32 октаэдров (в виде треугольных антипризм) и 192 тетраэдров, заполняющих промежутки в удалённых вершинах. Он имеет 272 ячейки, 944 грани, 864 ребра и 192 вершины.
Биальтернатонус 16-клеточный
Биальтернатоснуб 16-ячейка, или рунцический снуб, выпрямленный 16-ячейкой, построенный путём удаления чередующихся длинных прямоугольников из восьмиугольников, также не является однородным. Подобно всеобъемлющему тессеракту, он имеет наивысшую симметрию порядка 192, состоящую из 8 ромбикубоктаэдров (с симметрией Th), 16 икосаэдров (с симметрией T), 24 прямоугольных трапезопризм (топологически эквивалентных кубу, но с симметрией D2d), 32 треугольных призм, и 96 треугольных призм (в виде клиньев симметрии Cs), заполняющих промежутки. Вариант с правильными икосаэдрами и однородными треугольными призмами имеет два ребра в соотношении 1:2 и возникает как фасетирование вершин скалиформного рунцического снуба 24-ячейки.