Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Специальный случай полилогарифма
Special case of the polylogarithm
В математике дилогарифм (или функция Спенса), обозначаемый как Li2(z), является частным случаем полилогарифма. Две связанные специальные функции называются функцией Спенса, а именно сам дилогарифм:
In mathematics, the dilogarithm (or Spence's function), denoted as Li2(z), is a particular case of the polylogarithm. Two related special functions are referred to as Spence's function, the dilogarithm itself:
и его отражение. Для |z| < 1 также применим бесконечный ряд (интегральное определение представляет собой его аналитическое продолжение на комплексную плоскость):
and its reflection. For , an infinite series also applies (the integral definition constitutes its analytical extension to the complex plane):
В качестве альтернативы, дилогарифмическая функция иногда определяется как
Alternatively, the dilogarithm function is sometimes defined as
В гиперболической геометрии дилогарифм может быть использован для вычисления объема идеального симплекса. В частности, симплекс, вершины которого имеют двойное отношение z, имеет гиперболический объем
In hyperbolic geometry the dilogarithm can be used to compute the volume of an ideal simplex. Specifically, a simplex whose vertices have cross ratio z has hyperbolic volume
Функция D(z) иногда называется функцией Блоха — Вигнера. Функция Лобачевского и функция Клаузена являются тесно связанными функциями. Уильям Спенс, в честь которого функция была названа первыми исследователями в этой области, был шотландским математиком, работавшим в начале девятнадцатого века. Он учился в школе с Джоном Галтом, который позже написал биографическое эссе о Спенсе.
The function D(z) is sometimes called the Bloch Wigner function. Lobachevsky's function and Clausen's function are closely related functions. William Spence, after whom the function was named by early writers in the field, was a Scottish mathematician working in the early nineteenth century. He was at school with John Galt, who later wrote a biographical essay on Spence.
Аналитическая структура
Используя приведенное выше определение, дилогарифмическая функция аналитична во всей комплексной плоскости, за исключением точки , где у нее есть логарифмическая точка ветвления. Стандартный выбор разреза ветви — вдоль положительной вещественной оси. Однако функция непрерывна в точке ветвления и принимает значение .
Using the former definition above, the dilogarithm function is analytic everywhere on the complex plane except at , where it has a logarithmic branch point. The standard choice of branch cut is along the positive real axis However, the function is continuous at the branch point and takes on the value .
Особые значения
где функция дзета Римана.
where is the Riemann zeta function.
В физике элементарных частиц
Функция Спенса часто встречается в физике частиц при вычислении радиационных поправок. В этом контексте функция часто определяется с абсолютной величиной внутри логарифма:
Spence's Function is commonly encountered in particle physics while calculating radiative corrections. In this context, the function is often defined with an absolute value inside the logarithm: