Бикогерентность: Мера фазовой синхронизации в сигнале

Введение

Измерение фазовой связи в сигнале

В математике и статистическом анализе бикогерентность (также известная как биспектровая когерентность) является квадратичной нормализованной версией биспектра. Бикогерентность принимает значения в диапазоне от 0 до 1, что делает ее удобной мерой для количественной оценки степени фазовой связи в сигнале. Приставка «bi» в терминах биспектр и бикогерентность относится не к двум временным рядам xt, yt, а к двум частотам одного сигнала. Биспектр – это статистическая характеристика, используемая для поиска нелинейных взаимодействий. Преобразование Фурье кумулянта второго порядка, то есть функции автокорреляции, является традиционным спектром мощности. Преобразование Фурье C3(t1, t2) (кумулянт третьего порядка) называется биспектром или биспектральной плотностью. Они относятся к категории спектров высшего порядка, или полиспектров, и предоставляют дополнительную информацию к спектру мощности. Полиспектр третьего порядка (биспектр) является наиболее простым в вычислении и, следовательно, наиболее популярным. Отличие от измерения когерентности (анализ когерентности – широко используемый метод для изучения корреляций в частотной области между двумя одновременно измеренными сигналами) заключается в необходимости измерений как входного, так и выходного сигналов путем оценки двух автоспектров и одного перекрестного спектра. С другой стороны, бикогерентность является автохарактеристикой, то есть ее можно вычислить по одному сигналу. Функция когерентности обеспечивает количественную оценку отклонений от линейности в системе между входным и выходным датчиками измерения. Бикогерентность измеряет долю энергии сигнала на любой бичастоте, которая квадратично связана с фазой. Обычно она нормализуется в диапазоне, аналогичном коэффициенту корреляции и классической (второго порядка) когерентности. Она также использовалась для оценки глубины анестезии и широко применяется в физике плазмы (нелинейный перенос энергии), а также для обнаружения гравитационных волн. Биспектр и бикогерентность могут быть применены к случаю нелинейных взаимодействий непрерывного спектра распространяющихся волн в одном измерении. Измерения бикогерентности проводились для мониторинга ЭЭГ-сигналов во время сна, бодрствования и при эпилептических приступах.

In mathematics and statistical analysis, bicoherence (also known as bispectral coherency) is a squared normalised version of the bispectrum. The bicoherence takes values bounded between 0 and 1, which make it a convenient measure for quantifying the extent of phase coupling in a signal. The prefix bi in bispectrum and bicoherence refers not to two time series xt, yt but rather to two frequencies of a single signal. The bispectrum is a statistic used to search for nonlinear interactions. The Fourier transform of the second order cumulant, i. e., the autocorrelation function, is the traditional power spectrum. The Fourier transform of C3(t1,t2) (third order cumulant) is called bispectrum or bispectral density. They fall in the category of Higher Order Spectra, or Polyspectra and provide supplementary information to the power spectrum. The third order polyspectrum (bispectrum) is the easiest to compute, and hence the most popular. The difference with measuring coherence (coherence analysis is an extensively used method to study the correlations in frequency domain, between two simultaneously measured signals) is the need for both input and output measurements by estimating two auto spectra and one cross spectrum. On the other hand, bicoherence is an auto quantity, i. e. it can be computed from a single signal. The coherence function provides a quantification of deviations from linearity in the system which lies between the input and output measurement sensors. The bicoherence measures the proportion of the signal energy at any bifrequency that is quadratically phase coupled. It is usually normalized in the range similar to correlation coefficient and classical (second order) coherence. It was also used for depth of anasthesia assessment and widely in plasma physics (nonlinear energy transfer) and also for detection of gravitational waves. Bispectrum and bicoherence may be applied to the case of non linear interactions of a continuous spectrum of propagating waves in one dimension. Bicoherence measurements have been carried out for EEG signals monitoring in sleep, wakefulness and seizures.

Физическая интерпретация

Из трех вышеуказанных нормализаций вторая может быть интерпретирована как коэффициент корреляции, определяемый между передающими и принимающими энергию сторонами во взаимодействии нелинейного второго порядка, в то время как биспектр является соответствующей ковариацией. Следовательно, подобно тому, как корреляция не может в полной мере продемонстрировать наличие причинности, значительный пик бикогерентности также не может в достаточной степени подтвердить существование нелинейного взаимодействия.