Введение
Каким бы способом ни была выполнена триангуляция циклического многоугольника, сумма радиусов вписанных окружностей треугольников остаётся постоянной. В геометрии японская теорема утверждает, что независимо от способа триангуляции циклического многоугольника, сумма радиусов вписанных окружностей треугольников постоянна. Обратно, если сумма inradii не зависит от триангуляции, то многоугольник является циклическим. Японская теорема вытекает из теоремы Карно; это задача Сангаку.
In geometry, the Japanese theorem states that no matter how one triangulates a cyclic polygon, the sum of inradii of triangles is constant. Conversely, if the sum of inradii is independent of the triangulation, then the polygon is cyclic. The Japanese theorem follows from Carnot's theorem; it is a Sangaku problem.
Доказательство
Эта теорема может быть доказана, начав с доказательства частного случая: независимо от способа триангуляции циклического четырехугольника, сумма радиусов вписанных окружностей треугольников остается постоянной. После доказательства случая четырехугольника, общий случай теоремы о циклических многоугольниках является непосредственным следствием. Правило для четырехугольника можно применить к четырехугольным компонентам произвольного разбиения циклического многоугольника, и повторное применение этого правила, которое "переворачивает" одну диагональ, сгенерирует все возможные разбиения из любого заданного, при этом каждое "переворачивание" сохраняет сумму радиусов вписанных окружностей. Случай четырехугольника вытекает из простого обобщения японской теоремы для циклических четырехугольников, которая показывает, что прямоугольник образуется двумя парами центров вписанных окружностей, соответствующих двум возможным триангуляциям четырехугольника. Шаги этой теоремы не требуют ничего, кроме основных конструктивных методов евклидовой геометрии. С помощью дополнительной конструкции параллелограмма, стороны которого параллельны диагоналям и касаются углов прямоугольника, образованного центрами вписанных окружностей, случай четырехугольника в теореме о циклических многоугольниках может быть доказан в несколько шагов. Равенство сумм радиусов двух пар эквивалентно условию, что построенный параллелограмм является ромбом, что легко доказывается в рамках данной конструкции. Другое доказательство случая четырехугольника было предложено Уилфредом Рейесом (2002). В этом доказательстве как японская теорема для циклических четырехугольников, так и случай четырехугольника в теореме о циклических многоугольниках доказываются как следствие третьей задачи Тебо.