Введение
Центр треугольника, минимизирующий сумму расстояний до каждой вершины
В евклидовой геометрии точка Ферма треугольника, также называемая точкой Торричелли или точкой Ферма — Торричелли, — это точка, для которой сумма расстояний от каждой из трех вершин треугольника до этой точки является наименьшей возможной, или, что эквивалентно, геометрической медианой трех вершин. Она получила свое название потому, что впервые эта задача была поставлена Ферма в частном письме Евангелисте Торричелли, который ее решил. Точка Ферма дает решение задач геометрической медианы и дерева Штайнера для трех точек.
Местоположение X(13)
Фиг. 2 показывает равносторонние треугольники △ARB, △AQC, △CPB, присоединенные к сторонам произвольного треугольника △ABC. Вот доказательство, использующее свойства конциклических точек, чтобы показать, что три линии RC, BQ, AP на рисунке 2 пересекаются в точке F и пересекаются друг с другом под углом 60°. Треугольники △RAC, △BAQ конгруэнтны, потому что второй является вращением первого на 60° вокруг точки A. Следовательно, ∠ARF = ∠ABF и ∠AQF = ∠ACF. По обратной теореме о вписанном угле, применимой к дуге , точки ARBF являются конциклическими (лежат на одной окружности). Аналогично, точки AFCQ являются конциклическими. Поскольку ∠ARB = 60°, то ∠AFB = 120°, используя теорему о вписанном угле. Аналогично, ∠AFC = 120°. Следовательно, ∠BFC = 120°. Таким образом, ∠BFC + ∠BPC = 180°. Используя теорему о вписанных углах, это подразумевает, что точки BPCF являются конциклическими. Следовательно, используя теорему о вписанном угле, применимую к дуге , ∠BFP = ∠BCP = 60°. Так как ∠BFP + ∠BFA = 180°, точка F лежит на отрезке линии . Таким образом, линии RC, BQ, AP являются пересекающимися в одной точке (конкурентными). Q. E. D. Это доказательство применимо только к случаю 2, поскольку если ∠BAC > 120°, точка A находится внутри описанной окружности треугольника △BPC, что меняет относительное положение точек A и F. Однако его легко модифицировать для случая 1. Тогда ∠AFB = ∠AFC = 60°, следовательно, ∠BFC = ∠AFB + ∠AFC = 120°, что означает, что BPCF является конциклическим, поэтому ∠BFP = ∠BCP = 60° = ∠BFA. Поэтому точка A лежит на прямой FP. Линии, соединяющие центры окружностей на фиг. 2, перпендикулярны к отрезкам линий. Например, линия, соединяющая центр окружности, содержащей △ARB, и центр окружности, содержащей △AQC, перпендикулярна отрезку . Таким образом, линии, соединяющие центры окружностей, также пересекаются под углом 60°. Поэтому центры окружностей образуют равносторонний треугольник. Это известно как теорема Наполеона.
This proof applies only in Case 2, since if ∠BAC > 120°, point A lies inside the circumcircle of △BPC which switches the relative positions of A and F. However it is easily modified to cover Case 1. Then 1=∠AFB = ∠AFC = 60° hence 1=∠BFC = ∠AFB + ∠AFC = 120° which means BPCF is concyclic so 1=∠BFP = ∠BCP = 60° = ∠BFA. Therefore, A lies on FP. The lines joining the centers of the circles in Fig. 2 are perpendicular to the line segments For example, the line joining the center of the circle containing △ARB and the center of the circle containing △AQC, is perpendicular to the segment So, the lines joining the centers of the circles also intersect at 60° angles. Therefore, the centers of the circles form an equilateral triangle. This is known as Napoleon's Theorem.
Мультипликаторы Лагранжа
Другой подход к нахождению точки внутри треугольника, от которой сумма расстояний до вершин треугольника минимальна, заключается в использовании одного из методов математической оптимизации; в частности, метода множителей Лагранжа и теоремы косинусов. Проведём линии от точки внутри треугольника к его вершинам и обозначим их X, Y, Z. Пусть длины этих линий будут соответственно x, y, z. Обозначим угол между линиями X и Y как α, а угол между линиями Y и Z как β. Тогда угол между линиями X и Z равен π − α − β. Используя метод множителей Лагранжа, необходимо найти минимум функции Лагранжа L, которая выражается как:
где a, b, c – длины сторон треугольника. Приравнивая каждую из пяти частных производных к нулю и выполняя последующие преобразования, получаем 1 = sin α = sin β и 1 = sin(α + β) = − sin β, следовательно, α = β = 120°. Однако исключение переменных – процесс длительный и трудоёмкий, и конечный результат справедлив только для случая 2.
Псевдонимы
Изогонические центры X(13) и X(14) также известны как первая точка Ферма и вторая точка Ферма соответственно. Альтернативные названия – положительная точка Ферма и отрицательная точка Ферма. Однако эти различные наименования могут вводить в заблуждение и, возможно, лучше их избегать. Проблема заключается в том, что в значительной части литературы стирается грань между точкой Ферма и первой точкой Ферма, в то время как они совпадают только в случае 2, описанном выше.
История
Этот вопрос был предложен Ферма как задача для Эвангелисты Торричелли. Он решил её подобным Ферма способом, однако использовал пересечение описанных окружностей трёх правильных треугольников. Его ученик Вивиани опубликовал решение в 1659 году.