Кіріспе
Евклид геометриясында үшбұрыштың Ферма нүктесі, сондай-ақ Торричелли нүктесі немесе Ферма–Торричелли нүктесі деп аталатын нүкте, үшбұрыштың үш төбесінен осы нүктеге дейінгі үш қашықтықтың қосындысы ең кішкентай болатындай немесе, баламалы түрде, үш төбенің геометриялық медианасы болып табылады. Бұл мәселені Ферма алғаш рет Эвангелиста Торричеллиге жеке хатында көтерген, оны Торричелли шешкендіктен осылай аталған. Ферма нүктесі үш нүкте үшін геометриялық медиана және Штайнер ағашы мәселелерін шешеді.
In Euclidean geometry, the Fermat point of a triangle, also called the Torricelli point or Fermat–Torricelli point, is a point such that the sum of the three distances from each of the three vertices of the triangle to the point is the smallest possible or, equivalently, the geometric median of the three vertices. It is so named because this problem was first raised by Fermat in a private letter to Evangelista Torricelli, who solved it. The Fermat point gives a solution to the geometric median and Steiner tree problems for three points.
X(13) -тің орналасуы
Сұл. 2-де теңбұрышты үшбұрыштар △ARB, △AQC, △CPB кездейсоқ үшбұрыш △ABC қабырғаларына жанаса қосылған. 2-суреттегі RC, BQ, AP үш түзудің F нүктесінде қиылысып, бірін-бірі 60° бұрышта қиып тұрғанын конциклдік нүктелердің қасиеттерін пайдалана отырып дәлелдейміз. △RAC және △BAQ үшбұрыштары түйіндес, себебі екіншісі біріншісінің A нүктесіне қатысты 60° бұрылысы. Сондықтан 1=∠ARF = ∠ABF және 1=∠AQF = ∠ACF. Кесіндіге қолданылатын шеңберге ішкі бұрыш теоремасының керісі бойынша, ARBF нүктелері конциклдік (бір шеңберде жатыр). Сол сияқты AFCQ нүктелері де конциклдік. 1=∠ARB = 60°, демек, жазылған бұрыш теоремасын пайдаланып, 1=∠AFB = 120°. Сол сияқты 1=∠AFC = 120°. Онда 1=∠BFC = 120°. Сөйтіп, 1=∠BFC + ∠BPC = 180°. Жазылған бұрыш теоремасын қолдану арқылы, BPCF нүктелері конциклдік екенін білдіреді. Демек, кесіндіге қолданылатын жазылған бұрыш теоремасын пайдаланып, 1=∠BFP = ∠BCP = 60°. 1=∠BFP + ∠BFA = 180° болғандықтан, F нүктесі түзу бойында жатыр. Осылайша, RC, BQ, AP түзулері бір нүктеде түйіседі (бірдей нүктеде қиылысады). Дәлелделді. Бұл дәлелдеме тек 2-ші жағдайға қатысты, өйткені егер ∠BAC > 120° болса, A нүктесі △BPC шеңберінің ішінде орналасады, бұл A және F нүктелерінің өзара орналасуын өзгертеді. Дегенмен, оны 1-ші жағдайды қамту үшін оңай өзгертуге болады. Онда 1=∠AFB = ∠AFC = 60°, демек 1=∠BFC = ∠AFB + ∠AFC = 120°, яғни BPCF конциклдік, сондықтан 1=∠BFP = ∠BCP = 60° = ∠BFA. Сөйтіп, A нүктесі FP түзуінде жатыр. 2-суреттегі шеңберлердің орталықтарын қосатын түзулер келесіге перпендикуляр. Мысалы, △ARB шеңберінің орталығын және △AQC шеңберінің орталығын қосатын түзу кесіндіге перпендикуляр. Осылайша, шеңберлердің орталықтарын қосатын түзулер де 60° бұрышта қиылысады. Сондықтан шеңберлердің орталықтары теңбұрышты үшбұрыш құрайды. Бұл Наполеон теоремасы деп аталады.
This proof applies only in Case 2, since if ∠BAC > 120°, point A lies inside the circumcircle of △BPC which switches the relative positions of A and F. However it is easily modified to cover Case 1. Then 1=∠AFB = ∠AFC = 60° hence 1=∠BFC = ∠AFB + ∠AFC = 120° which means BPCF is concyclic so 1=∠BFP = ∠BCP = 60° = ∠BFA. Therefore, A lies on FP. The lines joining the centers of the circles in Fig. 2 are perpendicular to the line segments For example, the line joining the center of the circle containing △ARB and the center of the circle containing △AQC, is perpendicular to the segment So, the lines joining the centers of the circles also intersect at 60° angles. Therefore, the centers of the circles form an equilateral triangle. This is known as Napoleon's Theorem.
Лагранж көбейтушілері
Үшбұрыштың төбелеріне дейінгі қашықтықтардың қосындысы ең аз болатын үшбұрыштың ішіндегі нүктені табудың тағы бір тәсілі – математикалық оңтайландыру әдістерінің бірін қолдану, атап айтқанда Лагранж көбейтушілері әдісі мен косинустар заңы. Үшбұрыштың ішкі нүктесінен оның төбелеріне жүргізілген сызықтарды "X", "Y", "Z" деп атаймыз. Сондай-ақ, осы сызықтардың ұзындығы сәйкесінше x, y, z болсын. "X" және "Y" арасындағы бұрыш α, "Y" және "Z" арасындағы бұрыш β болсын. Онда "X" пен "Z" арасындағы бұрыш π − α − β болады. Лагранж көбейтушілері әдісін қолданып, Лагранж L-нің ең кішкентай мәнін табу керек, ол былай өрнектеледі:
мұнда a, b, c – үшбұрыштың қабырғаларының ұзындығы. Бес жеке туындыны нөлге теңестіріп, содан кейін жою арқылы 1=sin α = sin β және 1=sin(α + β) = − sin β, демек 1=α = β = 120° деген нәтиже шығады. Дегенмен, жою процесі ұзақ және күрделі, ал соңғы нәтиже тек 2-жағдайды қамтиды.
Атаулары
Изогоникалық орталықтар X(13) және X(14) сәйкесінше бірінші Ферма нүктесі және екінші Ферма нүктесі деп те аталады. Балама ретінде оң Ферма нүктесі және теріс Ферма нүктесі қолданылады. Дегенмен, мұндай әртүрлі атаулар шатасуға әкелуі мүмкін, сондықтан олардан аулақ болу қажет. Қиындық сол, көптеген әдебиеттер Ферма нүктесі мен бірінші Ферма нүктесі арасындағы ерекшелікті жоғалтады, ал олар тек жоғарыдағы 2-ші жағдайда ғана шын мәнінде бірдей болады.
Тарих
Бұл сұрақ Ферма, Эвангелиста Торричеллиге сынау ретінде қойған. Ол мәселені Ферма сияқты тәсілмен шешкен, алайда үш дұрыс үшбұрыштың сырттай шеңберлерінің қиылысын пайдаланған. Оның шәкірті Вивиани 1659 жылы осы шешімді жариялаған.