Фло́еровская гомоло́гия в симплекти́ческой тополо́гии

Введение

Инструмент симплектической топологии
В математике, гомология Флоера — это инструмент для изучения симплектической геометрии и низкоразмерной топологии. Гомология Флоера — это новый инвариант, возникающий как бесконечномерный аналог конечномерной гомологии Морзе. Андреас Флоер представил первую версию гомологии Флоера, теперь называемую симплектической гомологией Флоера, в своем доказательстве гипотезы Арнольда в симплектической геометрии. Флоер также разработал тесно связанную теорию для лагранжевых подмногообразий симплектического многообразия. Третья конструкция, также предложенная Флоером, связывает гомологические группы с замкнутыми трехмерными многообразиями, используя функционал Янга — Миллса. Эти конструкции и их производные играют фундаментальную роль в современных исследованиях топологии симплектических и контактных многообразий, а также (гладких) трех- и четырехмерных многообразий. Гомология Флоера обычно определяется путем сопоставления объекту исследования бесконечномерного многообразия и вещественнозначной функции на нем. В симплектическом случае это свободное пространство петли симплектического многообразия с симплектическим функционалом действия. Для (инстантонной) версии для трехмерных многообразий это пространство SU(2)-связностей на трехмерном многообразии с функционалом Черна — Саймонса. В общих чертах, гомология Флоера — это гомология Морзе функции на бесконечномерном многообразии. Флоэровский комплекс цепей формируется из абелевой группы, порожденной критическими точками функции (или, возможно, определенными наборами критических точек). Дифференциал комплекса цепей определяется путем подсчета линий потока градиентного векторного поля функции, соединяющих фиксированные пары критических точек (или их наборы). Гомология Флоера — это гомология этого комплекса цепей. Уравнение линии градиентного потока, в ситуации, когда идеи Флоера могут быть успешно применены, обычно является геометрически осмысленным и аналитически разрешимым уравнением. Для симплектической гомологии Флоера уравнение градиентного потока для пути в пространстве петли является (возмущенной версией) уравнения Коши — Римана для отображения цилиндра (общего пространства путей петли) в интересующее симплектическое многообразие; решения известны как псевдоголоморфные кривые. Затем используется теорема о компактности Громова, чтобы показать, что количество линий потока, определяющих дифференциал, конечно, так что дифференциал хорошо определен и аннулируется сам на себя. Таким образом, гомология Флоера определена. Для инстантонной гомологии Флоера уравнение градиентного потока является точно уравнением Янга — Миллса на трехмерном многообразии, пересеченном с вещественной прямой.

Symplectic topology tool
In mathematics, Floer homology is a tool for studying symplectic geometry and low dimensional topology. Floer homology is a novel invariant that arises as an infinite dimensional analogue of finite dimensional Morse homology. Andreas Floer introduced the first version of Floer homology, now called symplectic Floer homology, in his proof of the Arnold conjecture in symplectic geometry. Floer also developed a closely related theory for Lagrangian submanifolds of a symplectic manifold. A third construction, also due to Floer, associates homology groups to closed three dimensional manifolds using the Yang–Mills functional. These constructions and their descendants play a fundamental role in current investigations into the topology of symplectic and contact manifolds as well as (smooth) three and four dimensional manifolds. Floer homology is typically defined by associating to the object of interest an infinite dimensional manifold and a real valued function on it. In the symplectic version, this is the free loop space of a symplectic manifold with the symplectic action functional. For the (instanton) version for three manifolds, it is the space of SU(2) connections on a three dimensional manifold with the Chern–Simons functional. Loosely speaking, Floer homology is the Morse homology of the function on the infinite dimensional manifold. A Floer chain complex is formed from the abelian group spanned by the critical points of the function (or possibly certain collections of critical points). The differential of the chain complex is defined by counting the flow lines of the function's gradient vector field connecting fixed pairs of critical points (or collections thereof). Floer homology is the homology of this chain complex. The gradient flow line equation, in a situation where Floer's ideas can be successfully applied, is typically a geometrically meaningful and analytically tractable equation. For symplectic Floer homology, the gradient flow equation for a path in the loopspace is (a perturbed version of) the Cauchy–Riemann equation for a map of a cylinder (the total space of the path of loops) to the symplectic manifold of interest; solutions are known as pseudoholomorphic curves. The Gromov compactness theorem is then used to show that the counts of flow lines defining the differential are finite, so that the differential is well defined and squares to zero. Thus the Floer homology is defined. For instanton Floer homology, the gradient flow equation is exactly the Yang–Mills equation on the three manifold crossed with the real line.

Симплектическая гомология Floer

Симплектическая гомология Флоера (SFH) — это теория гомологии, связанная с симплектическим многообразием и невырожденным симплектоморфизмом этого многообразия. Если симплектоморфизм является гамильтоновым, то гомология возникает из изучения функционала симплектического действия на (универсальном покрытии) свободном пространстве петли симплектического многообразия. SFH инвариантна относительно гамильтоновой изотопии симплектоморфизма. Здесь невырожденность означает, что 1 не является собственным значением производной симплектоморфизма в любой из его фиксированных точек. Это условие подразумевает, что фиксированные точки изолированы. SFH является гомологией цепного комплекса, порожденного фиксированными точками такого симплектоморфизма, где дифференциал подсчитывает определенные псевдоголоморфные кривые в произведении вещественной прямой и отображающего тора симплектоморфизма. Само по себе это симплектическое многообразие размерности на два больше, чем исходное многообразие. При подходящем выборе почти комплексной структуры проколотые голоморфные кривые (конечной энергии) имеют цилиндрические концы, асимптотические к петлям в отображающем торе, соответствующим фиксированным точкам симплектоморфизма. Относительный индекс может быть определен для пар фиксированных точек, а дифференциал подсчитывает число голоморфных цилиндров с относительным индексом 1. Симплектическая гомология Флоера гамильтонова симплектоморфизма компактного многообразия изоморфна сингулярной гомологии базового многообразия. Таким образом, сумма чисел Бетти этого многообразия дает нижнюю границу, предсказанную одной из версий гипотезы Арнольда для числа фиксированных точек невырожденного симплектоморфизма. SFH гамильтонова симплектоморфизма также обладает произведением «пары штанов», которое является деформированным произведением чашек, эквивалентным квантовой когомологии. Версия этого произведения также существует для неточных симплектоморфизмов. Для кокасательного расслоения многообразия M гомология Флоера зависит от выбора гамильтониана из-за его некомпактности. Для гамильтонианов, которые квадратичны на бесконечности, гомология Флоера является сингулярной гомологией свободного петлевого пространства M (доказательства различных версий этого утверждения принадлежат Витербо, Саламону — Веберу, Аббондало — Шварцу и Коэну). Существуют более сложные операции над гомологией Флоера кокасательного расслоения, которые соответствуют операциям теории струн на гомологии петлевого пространства базового многообразия. Симплектическая версия гомологии Флоера играет ключевую роль в формулировке гипотезы гомологической зеркальной симметрии.

Symplectic Floer Homology (SFH) is a homology theory associated to a symplectic manifold and a nondegenerate symplectomorphism of it. If the symplectomorphism is Hamiltonian, the homology arises from studying the symplectic action functional on the (universal cover of the) free loop space of a symplectic manifold. SFH is invariant under Hamiltonian isotopy of the symplectomorphism. Here, nondegeneracy means that 1 is not an eigenvalue of the derivative of the symplectomorphism at any of its fixed points. This condition implies that the fixed points are isolated. SFH is the homology of the chain complex generated by the fixed points of such a symplectomorphism, where the differential counts certain pseudoholomorphic curves in the product of the real line and the mapping torus of the symplectomorphism. This itself is a symplectic manifold of dimension two greater than the original manifold. For an appropriate choice of almost complex structure, punctured holomorphic curves (of finite energy) in it have cylindrical ends asymptotic to the loops in the mapping torus corresponding to fixed points of the symplectomorphism. A relative index may be defined between pairs of fixed points, and the differential counts the number of holomorphic cylinders with relative index 1. The symplectic Floer homology of a Hamiltonian symplectomorphism of a compact manifold is isomorphic to the singular homology of the underlying manifold. Thus, the sum of the Betti numbers of that manifold yields the lower bound predicted by one version of the Arnold conjecture for the number of fixed points for a nondegenerate symplectomorphism. The SFH of a Hamiltonian symplectomorphism also has a pair of pants product that is a deformed cup product equivalent to quantum cohomology. A version of the product also exists for non exact symplectomorphisms. For the cotangent bundle of a manifold M, the Floer homology depends on the choice of Hamiltonian due to its noncompactness. For Hamiltonians that are quadratic at infinity, the Floer homology is the singular homology of the free loop space of M (proofs of various versions of this statement are due to Viterbo, Salamon–Weber, Abbondandolo–Schwarz, and Cohen). There are more complicated operations on the Floer homology of a cotangent bundle that correspond to the string topology operations on the homology of the loop space of the underlying manifold. The symplectic version of Floer homology figures in a crucial way in the formulation of the homological mirror symmetry conjecture.

Изоморфизм PSS

В 1996 году С. Пюнихин, Д. Саламон и М. Шварц обобщили результаты о связи между гомологией Флоера и квантовой кохомологией и сформулировали следующее утверждение. Когомологические группы Флоера петлевого пространства полуположительного симплектического многообразия (M,ω) естественно изоморфны обычной когомологии M, тензорно умноженной на подходящее кольцо Новикова, ассоциированное с группой покрывающих преобразований. Этот изоморфизм связывает квантовую структуру произведения чашек на когомологии M с произведением «пары штанов» на гомологии Флоера. Условие полуположительности и компактность симплектического многообразия M необходимы для получения кольца Новикова и для определения как гомологии Флоера, так и квантовой кохомологии. Условие полуположительности означает, что выполняется одно из следующих условий (следует отметить, что эти три случая не являются непересекающимися): для каждого A из π₂(M), где λ ≥ 0 (M является монотонным); для каждого A из π₂(M). Минимальное число Черна N ≥ 0, определяемое как, больше или равно n − 2. Квантовая когомологическая группа симплектического многообразия M может быть определена как тензорное произведение обычной когомологии с кольцом Новикова Λ, то есть. Эта конструкция гомологии Флоера объясняет независимость от выбора почти комплексной структуры на M и изоморфизм к гомологии Флоера, вытекающий из идей теории Морзе и псевдоголоморфных кривых, где необходимо учитывать дуальность Пуанкаре между гомологией и когомологией как основу.

Гомология полов трех-манифолдов

Существует несколько эквивалентных гомологий Флоера, связанных с замкнутыми трёхмерными многообразиями. Каждая из них порождает три типа гомологических групп, которые укладываются в точную треугольнику. Узел в трёхмерном многообразии индуцирует фильтрацию на цепном комплексе каждой теории, тип гомотопии цепей которой является инвариантом узла. (Их гомологии удовлетворяют аналогичным формальным свойствам, что и комбинаторно определённая гомология Хованова.) Эти гомологии тесно связаны с инвариантами Дональдсона и Зейберга для четырёхмерных многообразий, а также с инвариантом Громова — Тейбса для симплектических четырёхмерных многообразий; дифференциалы соответствующих гомологий трёхмерных многообразий в этих теориях изучаются путём рассмотрения решений соответствующих дифференциальных уравнений (Янга — Миллса, Зейберга — Виттена и Коши — Римана, соответственно) на произведении трёхмерного многообразия на R. Гомологии Флоера для трёхмерных многообразий также должны быть целями относительных инвариантов для четырёхмерных многообразий с границей, связанные посредством склеивающих конструкций с инвариантами замкнутого четырёхмерного многообразия, полученного склеиванием ограниченных трёхмерных многообразий вдоль их границ. (Это тесно связано с понятием топологической квантовой теории поля.) Для гомологии Хигарда — Флоера гомология трёхмерного многообразия была определена первой, а затем, на её основе, был определён инвариант для замкнутых четырёхмерных многообразий. Существуют также расширения гомологий трёхмерных многообразий на трёхмерные многообразия с границей: сшитая гомология Флоера и граничная гомология Флоера. Они связаны с инвариантами для замкнутых трёхмерных многообразий посредством формул склеивания для гомологии Флоера трёхмерного многообразия, описываемого как объединение вдоль границы двух трёхмерных многообразий с границей. Гомологии Флоера для трёхмерных многообразий также снабжены выделенным элементом гомологии, если трёхмерное многообразие снабжено контактной структурой. Кронхаймер и Мровка впервые ввели контактный элемент в случае Зейберга — Виттена. Озсват и Сабо построили его для гомологии Хигарда — Флоера, используя связь Жиру между контактными многообразиями и разложениями типа «открытая книга», и он получается «бесплатно», как класс гомологии пустого множества, в случае встроенной контактной гомологии. (В отличие от остальных трёх, для определения которой требуется контактная гомология. Для встроенной контактной гомологии см. Все эти теории снабжены априорными относительными градуировками; они были повышены до абсолютных градуировок (по классам гомотопии ориентированных 2-плоскостей) Кронхаймером и Мроукой (для SWF), Гриппом и Хуангом (для HF) и Хатчингсом (для ECH). Кристофаро Гардинер показал, что изоморфизм Таубеса между ECH и когомологиями Флоера Зейберга — Виттена сохраняет эти абсолютные градуировки.

There are several equivalent Floer homologies associated to closed three manifolds. Each yields three types of homology groups, which fit into an exact triangle. A knot in a three manifold induces a filtration on the chain complex of each theory, whose chain homotopy type is a knot invariant. (Their homologies satisfy similar formal properties to the combinatorially defined Khovanov homology.) These homologies are closely related to the Donaldson and Seiberg invariants of 4 manifolds, as well as to Taubes's Gromov invariant of symplectic 4 manifolds; the differentials of the corresponding three manifold homologies to these theories are studied by considering solutions to the relevant differential equations (Yang–Mills, Seiberg–Witten, and Cauchy–Riemann, respectively) on the 3 manifold cross R. The 3 manifold Floer homologies should also be the targets of relative invariants for four manifolds with boundary, related by gluing constructions to the invariants of a closed 4 manifold obtained by gluing together bounded 3 manifolds along their boundaries. (This is closely related to the notion of a topological quantum field theory.) For Heegaard Floer homology, the 3 manifold homology was defined first, and an invariant for closed 4 manifolds was later defined in terms of it. There are also extensions of the 3 manifold homologies to 3 manifolds with boundary: sutured Floer homology and bordered Floer homology These are related to the invariants for closed 3 manifolds by gluing formulas for the Floer homology of a 3 manifold described as the union along the boundary of two 3 manifolds with boundary. The three manifold Floer homologies also come equipped with a distinguished element of the homology if the three manifold is equipped with a contact structure. Kronheimer and Mrowka first introduced the contact element in the Seiberg–Witten case. Ozsvath and Szabo constructed it for Heegaard Floer homology using Giroux's relation between contact manifolds and open book decompositions, and it comes for free, as the homology class of the empty set, in embedded contact homology. (Which, unlike the other three, requires a contact homology for its definition. For embedded contact homology see
These theories all come equipped with a priori relative gradings; these have been lifted to absolute gradings (by homotopy classes of oriented 2 plane fields) by Kronheimer and Mrowka (for SWF), Gripp and Huang (for HF), and Hutchings (for ECH). Cristofaro Gardiner has shown that Taubes' isomorphism between ECH and Seiberg–Witten Floer cohomology preserves these absolute gradings.

Гомология Instanton Floer

Это трехмерный инвариант, связанный с теорией Дональдсона, введенный самим Флоером. Он получается с использованием функционала Черна — Симонса на пространстве соединений главного SU(2)-расслоения над трехмерным многообразием (точнее, над гомологиями 3-сфер). Критическими точками являются плоские соединения, а траекториями потока — инстантоны, то есть антисамодвойные соединения на трехмерном многообразии, перемноженном на вещественную прямую. Гомология инстантонов Флоера может рассматриваться как обобщение инварианта Кассона, поскольку эйлерова характеристика гомологии Флоера совпадает с инвариантом Кассона. Вскоре после введения Флоером гомологии Флоера, Дональдсон осознал, что кобордизмы индуцируют отображения. Это был первый пример структуры, которая впоследствии получила название топологической квантовой теории поля.

Омология SeibergWitten Floer

Гомология Зейберга — Виттена — Флоэра, или монопольная гомология Флоэра, — это теория гомологии для гладких трёхмерных многообразий (оснащённых спиновой структурой). Её можно рассматривать как гомологию Морзе функционала Черна — Саймонса — Дирака на U(1)-связностях на трёхмерном многообразии. Соответствующее уравнение градиентного потока соответствует уравнениям Зейберга — Виттена на трёхмерном многообразии, перемноженном на вещественную прямую. Эквивалентно, генераторы цепного комплекса — это трансляционно инвариантные решения уравнений Зейберга — Виттена (известные как монополи) на произведении трёхмерного многообразия и вещественной прямой, а дифференциал подсчитывает решения уравнений Зейберга — Виттена на произведении трёхмерного многообразия и вещественной прямой, которые асимптотически стремятся к инвариантным решениям на бесконечности и в минус бесконечности. Одна из версий гомологии Зейберга — Виттена — Флоэра была строго построена в монографии «Монополи и трёхмерные многообразия» Питера Кронхаймера и Томаша Мроуки, где она известна как монопольная гомология Флоэра. Таубес показал, что она изоморфна вложенной контактной гомологии. Альтернативные построения SWF для рациональных гомологий трёхмерных сфер были даны и ; известно, что они согласуются.

Гомология Heegaard Floer

Хигаард Флор гомология /аудио=Да Хигаард. oga/// – инвариант, установленный Питером Озсватом и Золтаном Сабо для замкнутого трехмерного многообразия, снабженного спиновой структурой. Она вычисляется с использованием диаграммы Хигаарда пространства посредством построения, аналогичного лагранжевой теории Флор гомологии. Было объявлено доказательство изоморфизма Хигаард Флор гомологии и гомологии Зейберга — Виттена, а также доказательство изоморфизма плюс-варианта Хигаард Флор гомологии (с обратной ориентацией) и вложенной контактной гомологии. Узел в трехмерном многообразии индуцирует фильтрацию на группах Хигаард Флор гомологии, а фильтрованный тип гомотопии является мощным инвариантом узла, называемым гомологией узла Флор. Он категорифицирует полином Александра. Гомология узла Флор была определена и независимо друг от друга. Известно, что она позволяет определить род узла. Используя диаграммы решеток для расщеплений Хигаарда, гомологии узла Флор была дана комбинаторная конструкция. Хигаард Флор гомология двойного накрытия сферы S³ с ветвлением над узлом связана со спектральной последовательностью к гомологии Хованова. Комбинаторно описана "шляпная" версия Хигаард Флор гомологии. "Плюс" и "минус" варианты Хигаард Флор гомологии, а также связанные с ними четырехмерные инварианты Озсвата — Сабо, также могут быть описаны комбинаторно.

Однородность встроенных контактов

Встроенная контактная гомология, разработанная Майклом Хатчингсом, является инвариантом трехмерных многообразий (с выделенным вторым классом гомологии, соответствующим выбору спин-структуры в гомологии Зейберга — Виттена — Флоэра), изоморфной (по работам Клиффорда Таубса) кохомологии Зейберга — Виттена — Флоэра и, следовательно (по работам, анонсированным и ), к плюсовой версии гомологии Хигаарда — Флоэра (с обратной ориентацией). Её можно рассматривать как обобщение инварианта Громова Таубса, известного как эквивалентный инварианту Зейберга — Виттена, с замкнутых симплектических 4-многообразий на некоторые некомпактные симплектические 4-многообразия (а именно, контактное трехмерное многообразие, умноженное на R). Её построение аналогично теории симплектического поля, поскольку она порождается определенными множествами замкнутых орбит Риба, а её дифференциал подсчитывает определенные голоморфные кривые с концами на определенных множествах орбит Риба. Она отличается от SFT техническими условиями на множествах орбит Риба, которые её порождают, и тем, что не подсчитывает все голоморфные кривые с индексом Фредгольма 1 с заданными концами, а только те, которые также удовлетворяют топологическому условию, заданному индексом ECH, что, в частности, подразумевает, что рассматриваемые кривые (в основном) вложены. Гипотеза Вайнштейна о том, что любое контактное трехмерное многообразие имеет замкнутую орбиту Риба для любой контактной формы, верна для любого многообразия, чей ECH нетривиален, и была доказана Таубсом с использованием методов, тесно связанных с ECH; обобщения этой работы привели к изоморфизму между ECH и SWF. Многие построения в ECH (включая его корректность определения) опираются на этот изоморфизм. Контактный элемент ECH имеет особенно простую форму: это цикл, связанный с пустым множеством орбит Риба. Аналог встроенной контактной гомологии может быть определен для отображающих торов симплектоморфизмов поверхности (возможно, с границей) и известен как периодическая гомология Флоэра, обобщающая симплектическую гомологию Флоэра симплектоморфизмов поверхности. В более общем смысле, она может быть определена относительно любой стабильной гамильтоновой структуры на трехмерном многообразии; как и контактные структуры, стабильные гамильтоновы структуры определяют неисчезающее векторное поле (векторное поле Риба), и Хатчингс и Таубес доказали аналог гипотезы Вайнштейна для них, а именно, что они всегда имеют замкнутые орбиты (если они не являются отображающими торами 2-тора).

Embedded contact homology, due to Michael Hutchings, is an invariant of 3 manifolds (with a distinguished second homology class, corresponding to the choice of a spinc structure in Seiberg–Witten Floer homology) isomorphic (by work of Clifford Taubes) to Seiberg–Witten Floer cohomology and consequently (by work announced by and ) to the plus version of Heegaard Floer homology (with reverse orientation). It may be seen as an extension of Taubes's Gromov invariant, known to be equivalent to the Seiberg–Witten invariant, from closed symplectic 4 manifolds to certain non compact symplectic 4 manifolds (namely, a contact three manifold cross R). Its construction is analogous to symplectic field theory, in that it is generated by certain collections of closed Reeb orbits and its differential counts certain holomorphic curves with ends at certain collections of Reeb orbits. It differs from SFT in technical conditions on the collections of Reeb orbits that generate it—and in not counting all holomorphic curves with Fredholm index 1 with given ends, but only those that also satisfy a topological condition given by the ECH index, which in particular implies that the curves considered are (mainly) embedded. The Weinstein conjecture that a contact 3 manifold has a closed Reeb orbit for any contact form holds on any manifold whose ECH is nontrivial, and was proved by Taubes using techniques closely related to ECH; extensions of this work yielded the isomorphism between ECH and SWF. Many constructions in ECH (including its well definedness) rely upon this isomorphism
The contact element of ECH has a particularly nice form: it is the cycle associated to the empty collection of Reeb orbits. An analog of embedded contact homology may be defined for mapping tori of symplectomorphisms of a surface (possibly with boundary) and is known as periodic Floer homology, generalizing the symplectic Floer homology of surface symplectomorphisms. More generally, it may be defined with respect to any stable Hamiltonian structure on the 3 manifold; like contact structures, stable Hamiltonian structures define a nonvanishing vector field (the Reeb vector field), and Hutchings and Taubes have proven an analogue of the Weinstein conjecture for them, namely that they always have closed orbits (unless they are mapping tori of a 2 torus).

АтияПлатовая гипотеза

Предположение Атия-Флоэра связывает инстантную гомологию Флоэра с гомологией пересечений Лагранжевых подмногообразий. Рассмотрим 3-многообразие Y с расщеплением Хигаарда вдоль поверхности Σ. Тогда пространство плоских связностей по эквивалентности калибровки является симплектическим многообразием размерности 6g - 6, где g – род поверхности Σ. В расщеплении Хигаарда Σ ограничивает два различных 3-многообразия; пространство плоских связностей по эквивалентности калибровки на каждом 3-многообразии с границей вкладывается в как лагранжево подмногообразие. Можно рассмотреть гомологию пересечений Лагранжевых подмногообразий Флоэра. Альтернативно, можно рассмотреть инстантную гомологию Флоэра 3-многообразия Y. Предположение Атия-Флоэра утверждает, что эти два инварианта изоморфны. Саламон-Верхайм и Даеми-Фукая работают над своими программами для доказательства этого предположения.

Отношения к зеркальной симметрии

Гомологическая гипотеза о зеркальной симметрии Максима Концевича предсказывает равенство между гомологией лагранжианского потока лагранжианов в многообразии Калаби–Яу и группами Ext когерентных пучков на зеркальном многообразии Калаби–Яу. В этой ситуации следует сосредоточиться не на группах гомологии Флера, а на группах цепочек Флера. Подобно произведению «пары штанов», можно построить мультикомпозиции, используя псевдоголоморфные n-угольники. Эти композиции удовлетворяют соотношениям, превращающим категорию всех (непрепятствованных) лагранжианских подмногообразий в симплектическом многообразии в категорию, называемую категорией Фукая. Для большей точности необходимо добавить к лагранжиану дополнительные данные – градуировку и спиновую структуру. Лагранжиан с выбранными структурами часто называют браной в честь лежащей в основе физики. Гипотеза о гомологической зеркальной симметрии утверждает, что существует тип производной эквивалентности Мориты между категорией Фукая многообразия Калаби–Яу и dg-категорией, лежащей в основе ограниченной производной категории когерентных пучков зеркального многообразия, и наоборот.

Симплектическая теория поля (СФТ)

Это инвариант контактных многообразий и симплектических кобордизмов между ними, первоначально установленный Яковом Элиашбергом, Александром Гивенталем и Гельмутом Хофером. Симплектическая теория поля, а также её подкомплексы – рациональная симплектическая теория поля и контактная гомология – определяются как гомологии дифференциальных алгебр, порожденных замкнутыми орбитами векторного поля Риба выбранной контактной формы. Дифференциал подсчитывает определенные голоморфные кривые в цилиндре над контактным многообразием, где тривиальными примерами служат разветвленные покрытия (тривиальных) цилиндров над замкнутыми орбитами Риба. В неё также входит линейная теория гомологии, называемая цилиндрической или линеаризованной контактной гомологией (иногда, злоупотребляя терминологией, просто контактной гомологией), чьи цепные группы представляют собой векторные пространства, порожденные замкнутыми орбитами, а дифференциалы подсчитывают только голоморфные цилиндры. Однако цилиндрическая контактная гомология не всегда определена из-за наличия голоморфных дисков и отсутствия результатов об регулярности и поперечности. В ситуациях, когда цилиндрическая контактная гомология определена, её можно рассматривать как (незначительно модифицированную) морсовую гомологию функционала действия на свободном пространстве петли, которая отображает петлю в интеграл контактной формы альфа вдоль петли. Орбиты Риба являются критическими точками этого функционала. SFT также связывает относительный инвариант легендрова подмногообразия контактного многообразия, известный как относительная контактная гомология. Его генераторами являются аккорды Риба – траектории векторного поля Риба, начинающиеся и заканчивающиеся на лагранжевом многообразии, а дифференциал подсчитывает определенные голоморфные полосы в симплектизации контактного многообразия, концы которых асимптотически приближаются к заданным аккордам Риба. В SFT контактные многообразия могут быть заменены отображающими торами симплектических многообразий с симплектоморфизмами. В то время как цилиндрическая контактная гомология хорошо определена и задается симплектическими гомологиями Флоэра степеней симплектоморфизма, (рациональная) симплектическая теория поля и контактная гомология могут рассматриваться как обобщенные симплектические гомологии Флоэра. В важном случае, когда симплектоморфизм является отображением времени, соответствующим одному временному гамильтониану, было показано, что эти более высокие инварианты не содержат дополнительной информации.

This is an invariant of contact manifolds and symplectic cobordisms between them, originally due to Yakov Eliashberg, Alexander Givental and Helmut Hofer. The symplectic field theory as well as its subcomplexes, rational symplectic field theory and contact homology, are defined as homologies of differential algebras, which are generated by closed orbits of the Reeb vector field of a chosen contact form. The differential counts certain holomorphic curves in the cylinder over the contact manifold, where the trivial examples are the branched coverings of (trivial) cylinders over closed Reeb orbits. It further includes a linear homology theory, called cylindrical or linearized contact homology (sometimes, by abuse of notation, just contact homology), whose chain groups are vector spaces generated by closed orbits and whose differentials count only holomorphic cylinders. However, cylindrical contact homology is not always defined due to the presence of holomorphic discs and a lack of regularity and transversality results. In situations where cylindrical contact homology makes sense, it may be seen as the (slightly modified) Morse homology of the action functional on the free loop space, which sends a loop to the integral of the contact form alpha over the loop. Reeb orbits are the critical points of this functional. SFT also associates a relative invariant of a Legendrian submanifold of a contact manifold known as relative contact homology. Its generators are Reeb chords, which are trajectories of the Reeb vector field beginning and ending on a Lagrangian, and its differential counts certain holomorphic strips in the symplectization of the contact manifold whose ends are asymptotic to given Reeb chords. In SFT the contact manifolds can be replaced by mapping tori of symplectic manifolds with symplectomorphisms. While the cylindrical contact homology is well defined and given by the symplectic Floer homologies of powers of the symplectomorphism, (rational) symplectic field theory and contact homology can be considered as generalized symplectic Floer homologies. In the important case when the symplectomorphism is the time one map of a time dependent Hamiltonian, it was however shown that these higher invariants do not contain any further information.

Гомотопия пола

Один из возможных способов построения теории гомологии Флера для некоторого объекта — построить связанный спектр, обычная гомология которого является требуемой гомологией Флера. Применение других теорий гомологии к такому спектру может дать другие интересные инварианты. Эта стратегия была предложена Ральфом Коэном, Джоном Джонсом и Грэмом Сегалом и реализована в некоторых случаях для гомологии Зейберга — Виттена — Флера, а также для симплектической гомологии Флера кокасательных расслоений Коэном. Этот подход лег в основу построения Манолеску в 2013 году Pin(2)-эквивариантной гомологии Зейберга — Виттена — Флера, с помощью которой он опроверг гипотезу треуголизации для многообразий размерности 5 и выше.

Аналитические основы

Многие из этих гомологий Флера не были полностью и строго построены, и многие предполагаемые эквивалентности не доказаны. В анализе возникают технические трудности, особенно при построении компактифицированных пространств модулей псевдоголоморфных кривых. Хофер, в сотрудничестве с Крисом Вайсоцким и Эдуардом Зендером, разработал новые аналитические основания, используя их теорию полифолдов и "общую теорию Фредгольма". Хотя проект полифолдов еще не завершен, в некоторых важных случаях трансверсальность была установлена более простыми методами.

Вычисления

Гомологии Флоера, как правило, сложно вычислить явно. Например, симплектическая гомология Флоера для всех симплектоморфизмов поверхностей была полностью завершена лишь в 2007 году. Гомология Хигарда Флоера оказалась успешной в этом плане: исследователи использовали её алгебраическую структуру для вычисления инвариантов для различных классов трёхмерных многообразий и разработали комбинаторные алгоритмы для вычисления значительной части теории. Она также связана с существующими инвариантами и структурами, что привело ко многим новым результатам в топологии трёхмерных многообразий.