Введение
Обобщение конечномерных евклидовых пространств, отличное от гильбертовых пространств. В математике, ядерные пространства — это топологические векторные пространства, которые можно рассматривать как обобщение конечномерных евклидовых пространств и обладают многими их желаемыми свойствами. Однако ядерные пространства существенно отличаются от гильбертовых пространств, являющихся другим обобщением конечномерных евклидовых пространств. Они были введены Александром Гротендиком. Топология на ядерных пространствах может быть определена семейством полунорм, единичные шары которых быстро уменьшаются в размере. Векторные пространства, элементы которых в некотором смысле "гладкие", как правило, являются ядерными пространствами; типичным примером ядерного пространства является множество гладких функций на компактном многообразии. Все конечномерные векторные пространства являются ядерными. Пространств Банаха, которые были бы ядерными, не существует, за исключением конечномерных. На практике часто верно обратное: если "естественным образом возникающее" топологическое векторное пространство не является пространством Банаха, то велика вероятность, что оно ядерное.
In mathematics, nuclear spaces are topological vector spaces that can be viewed as a generalization of finite dimensional Euclidean spaces and share many of their desirable properties. Nuclear spaces are however quite different from Hilbert spaces, another generalization of finite dimensional Euclidean spaces. They were introduced by Alexander Grothendieck. The topology on nuclear spaces can be defined by a family of seminorms whose unit balls decrease rapidly in size. Vector spaces whose elements are "smooth" in some sense tend to be nuclear spaces; a typical example of a nuclear space is the set of smooth functions on a compact manifold. All finite dimensional vector spaces are nuclear. There are no Banach spaces that are nuclear, except for the finite dimensional ones. In practice a sort of converse to this is often true: if a "naturally occurring" topological vector space is not a Banach space, then there is a good chance that it is nuclear.
Мотивация геометрии
Другой набор мотивирующих примеров непосредственно исходит из геометрии и теории гладких многообразий (см. приложение 2). Для гладких многообразий и локально выпуклого топологического векторного пространства Хаусдорфа существуют следующие изоморфизмы ядерных пространств.
Достаточные условия
Локально выпуклое пространство Хаусдорфа является ядерным тогда и только тогда, когда его завершение является ядерным. Каждое подпространство ядерного пространства является ядерным. Каждое фактор-пространство Хаусдорфа ядерного пространства является ядерным. Индуктивный предел счётной последовательности ядерных пространств является ядерным. Локально выпуклая прямая сумма счётной последовательности ядерных пространств является ядерной. Сильный дуал ядерного пространства Фреше является ядерным. В общем случае, сильный дуал ядерного пространства может не быть ядерным. Пространство Фреше, сильный дуал которого является ядерным, само является ядерным. Предел семейства ядерных пространств является ядерным. Произведение семейства ядерных пространств является ядерным. Завершение ядерного пространства является ядерным (и, фактически, пространство является ядерным тогда и только тогда, когда его завершение является ядерным). Тензорное произведение двух ядерных пространств является ядерным. Проективное тензорное произведение, а также его завершение, двух ядерных пространств являются ядерными. Пусть и – локально выпуклые пространства, причём является ядерным. Если является ядерным, то векторное пространство непрерывных линейных отображений с топологией простой сходимости является ядерным пространством. Если – полурефлексивное пространство, сильный дуал которого является ядерным, и – ядерное, то векторное пространство непрерывных линейных отображений (с топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножествах ) является ядерным пространством.
Примеры
Если X – множество любой кардинальности, то X и X<sup>ω</sup> (с топологией произведения) являются ядерными пространствами. Относительно простым бесконечномерным примером ядерного пространства является пространство всех быстро убывающих последовательностей ("быстро убывающие" означает, что |a<sub>n</sub>| ограничено для любого многочлена n). Для каждого вещественного числа α можно определить норму ||a||<sub>α</sub>, если завершение в этой норме – пространство F, то существует естественное отображение из l<sup>α</sup> в F при α > 0, и оно является ядерным, поскольку ряд тогда абсолютно сходится. В частности, для каждой нормы можно найти другую норму, скажем, β, такую что отображение из l<sup>α</sup> в l<sup>β</sup> является ядерным. Следовательно, пространство F является ядерным. Пространство гладких функций на любом компактном многообразии является ядерным. Пространство Шварца гладких функций, для которых производные всех порядков быстро убывают, является ядерным пространством. Пространство целых голоморфных функций на комплексной плоскости является ядерным. Пространство обобщенных функций (распределений), являющееся сильным дуальным к пространству C<sup>∞</sup>, является ядерным.
If the completion in this norm is then there is a natural map from whenever and this is nuclear whenever essentially because the series is then absolutely convergent. In particular for each norm this is possible to find another norm, say such that the map is nuclear. So the space is nuclear. The space of smooth functions on any compact manifold is nuclear. The Schwartz space of smooth functions on for which the derivatives of all orders are rapidly decreasing is a nuclear space. The space of entire holomorphic functions on the complex plane is nuclear. The space of distributions the strong dual of is nuclear.
Свойства
Ядерные пространства во многом похожи на пространства с конечными измерениями и обладают многими их полезными свойствами. Каждое конечномерное хаусдорфово пространство является ядерным. Пространство Фреше является ядерным тогда и только тогда, когда его сильный дуал является ядерным. Каждое ограниченное подмножество ядерного пространства является предкомпактным (напомним, что множество является предкомпактным, если его замыкание в завершении пространства является компактным). Это аналогично теореме Хайне-Бореля. В отличие от этого, никакое бесконечномерное нормированное пространство не обладает этим свойством (хотя пространства с конечными измерениями обладают им). Если ядерное пространство является квазиполным (то есть все замкнутые и ограниченные подмножества полны), то оно обладает свойством Хайне-Бореля. Ядерное квазиполное бочкообразное пространство является пространством Монтеля. Каждое замкнутое равнонепрерывное подмножество дуала ядерного пространства является компактным метризуемым множеством (в сильной дуальной топологии). Каждое ядерное пространство является подпространством произведения гильбертовых пространств. Каждое ядерное пространство допускает базис полунорм, состоящий из норм Гильберта. Каждое ядерное пространство является пространством Шварца. Каждое ядерное пространство обладает свойством аппроксимации. Любое подпространство и любое факторпространство по замкнутому подпространству ядерного пространства является ядерным. Если A – ядерное пространство, а B – любое локально выпуклое топологическое векторное пространство, то естественное отображение из проективного тензорного произведения A и B в инъективное тензорное произведение является изоморфизмом. Грубо говоря, это означает, что существует только один разумный способ определения тензорного произведения. Это свойство характеризует ядерные пространства. В теории мер на топологических векторных пространствах основная теорема утверждает, что любая непрерывная мера по цилиндрическим множествам на дуале ядерного пространства Фреше автоматически расширяется до меры Радона. Это полезно, поскольку часто легко построить меры по цилиндрическим множествам на топологических векторных пространствах, но они недостаточно хороши для большинства приложений, если они не являются мерами Радона (например, они даже не счетно аддитивны в общем случае).
In the theory of measures on topological vector spaces, a basic theorem states that any continuous cylinder set measure on the dual of a nuclear Fréchet space automatically extends to a Radon measure. This is useful because it is often easy to construct cylinder set measures on topological vector spaces, but these are not good enough for most applications unless they are Radon measures (for example, they are not even countably additive in general).
Сильно ядерные пространства
Сильно ядерное пространство — это локально выпуклое топологическое векторное пространство, для которого для любой полунормы существует большая полунорма, такая что естественное отображение является сильно ядерным.