Введение
Особенность системы, которая сохраняется при некоторых преобразованиях.
В физике симметрия физической системы – это физическая или математическая характеристика системы (наблюдаемая или присущая ей), которая сохраняется или остаётся неизменной при определённых преобразованиях. Семейство конкретных преобразований может быть непрерывным (например, вращение окружности) или дискретным (например, отражение относительно двусторонней симметрии или вращение правильного многоугольника). Непрерывные и дискретные преобразования порождают соответствующие типы симметрий. Непрерывные симметрии могут быть описаны группами Ли, а дискретные симметрии – конечными группами (см. группа симметрии). Эти две концепции – группы Ли и конечные группы – лежат в основе фундаментальных теорий современной физики. Симметрии часто поддаются математическому формализму, такому как представления групп, и могут также использоваться для упрощения многих задач. Пожалуй, наиболее важным примером симметрии в физике является то, что скорость света имеет одно и то же значение во всех системах отсчёта, что описывается специальной теорией относительности группой преобразований пространства-времени, известной как группа Пуанкаре. Другой важный пример – инвариантность формы физических законов относительно произвольных дифференцируемых преобразований координат, что является ключевой идеей в общей теории относительности.
Как своего рода инвариантность
Неизменность определяется математически преобразованиями, которые оставляют некоторое свойство (например, величину) неизменным. Эта идея применима к фундаментальным наблюдениям в реальном мире. Например, температура может быть однородной во всей комнате. Поскольку температура не зависит от положения наблюдателя в комнате, мы говорим, что температура инвариантна относительно сдвига положения наблюдателя в комнате. Аналогично, однородная сфера, вращающаяся вокруг своего центра, будет выглядеть точно так же, как и до вращения. Говорят, что сфера обладает сферической симметрией. Вращение вокруг любой оси сферы сохранит её внешний вид.
Действующая неизменность
Вышеизложенные идеи приводят к полезному понятию инвариантности при обсуждении наблюдаемой физической симметрии; это также применимо к симметриям в силах. Например, электрическое поле, создаваемое бесконечно длинным электрически заряженным проводом, обладает цилиндрической симметрией, поскольку напряженность электрического поля на заданном расстоянии r от провода имеет одинаковую величину во всех точках на поверхности цилиндра (ось которого совпадает с проводом) радиуса r. Вращение провода вокруг его оси не изменяет его положение или плотность заряда, следовательно, поле сохраняется. Напряженность поля в повернутом положении остается прежней. Это неверно для произвольной системы зарядов в общем случае. В ньютоновской механике, если дать два тела, каждое с массой m, начинающих движение из начала координат вдоль оси x в противоположных направлениях, одно со скоростью v1, а другое – со скоростью v2, то полная кинетическая энергия системы (рассчитанная наблюдателем в начале координат) и остается неизменной при перестановке скоростей. Полная кинетическая энергия сохраняется при отражении относительно оси y. Последний пример иллюстрирует еще один способ выражения симметрий – через уравнения, описывающие определенные аспекты физической системы. Этот пример показывает, что полная кинетическая энергия останется одинаковой, если поменять местами v1 и v2.
Местные и глобальные
Симметрии можно широко классифицировать как глобальные или локальные. Глобальная симметрия сохраняет некоторое свойство инвариантным при преобразовании, примененном одновременно во всех точках пространства-времени, в то время как локальная симметрия сохраняет это свойство инвариантным, когда в каждой точке пространства-времени применяется, возможно, различное преобразование симметрии; в частности, преобразование локальной симметрии параметризуется координатами пространства-времени, а глобальной – нет. Это означает, что глобальная симметрия также является локальной симметрией. Локальные симметрии играют важную роль в физике, поскольку они лежат в основе калибровочных теорий.
Непрерывный
Два примера вращательной симметрии, описанных выше – сферическая и цилиндрическая – являются случаями непрерывной симметрии. Они характеризуются инвариантностью при непрерывном изменении геометрии системы. Например, проволоку можно вращать на любой угол вокруг своей оси, и напряженность поля останется неизменной на заданном цилиндре. Математически непрерывные симметрии описываются преобразованиями, которые непрерывно меняются как функция от своих параметров. Важным подклассом непрерывных симметрий в физике являются симметрии пространства-времени.
Пространство-время
Непрерывная пространственно-временная симметрия — это симметрия, включающая преобразования пространства и времени. Они могут быть далее классифицированы как пространственные симметрии, включающие только пространственную геометрию, связанную с физической системой; временные симметрии, включающие только изменения во времени; или пространственно-временные симметрии, включающие изменения как в пространстве, так и во времени. Временной сдвиг: физическая система может сохранять одни и те же характеристики в течение определенного интервала времени Δt; это математически выражается как инвариантность относительно преобразования t → t + a для любых вещественных параметров t и t + a в этом интервале. Например, в классической механике частица, на которую действует только сила тяжести, будет обладать гравитационной потенциальной энергией mgh при подвешивании на высоте h над поверхностью Земли. При условии, что высота частицы не меняется, это и будет ее общей гравитационной потенциальной энергией во все моменты времени. Иными словами, рассматривая состояние частицы в некоторый момент времени t и в момент времени t + a, общая гравитационная потенциальная энергия частицы останется неизменной. Пространственный сдвиг: эти пространственные симметрии представлены преобразованиями вида и описывают ситуации, в которых свойство системы не изменяется при непрерывном изменении местоположения. Например, температура в комнате может быть независима от местоположения термометра в комнате. Пространственное вращение: эти пространственные симметрии классифицируются как собственные вращения и несобственные вращения. Первые — это обычные вращения; математически они представлены квадратными матрицами с единичным определителем. Вторые представлены квадратными матрицами с определителем −1 и состоят из собственного вращения в сочетании с пространственным отражением (инверсией). Например, сфера обладает собственной вращательной симметрией. Другие типы пространственных вращений описаны в статье «Симметрия вращения». Преобразования Пуанкаре: это пространственно-временные симметрии, сохраняющие расстояния в пространстве Минковского, то есть они являются изометриями пространства Минковского. Они в основном изучаются в специальной теории относительности. Изометрии, оставляющие начало координат фиксированным, называются преобразованиями Лоренца и порождают симметрию, известную как ковариантность Лоренца. Проективные симметрии: это пространственно-временные симметрии, сохраняющие геодезическую структуру пространства-времени. Они могут быть определены на любом гладком многообразии, но находят широкое применение в изучении точных решений в общей теории относительности. Инверсионные преобразования: это пространственно-временные симметрии, которые обобщают преобразования Пуанкаре, включая другие конформные взаимно однозначные преобразования координат пространства-времени. Длины не являются инвариантными относительно инверсионных преобразований, но существует двойное отношение четырех точек, которое является инвариантным. Математически симметрии пространства-времени обычно описываются гладкими векторными полями на гладком многообразии. Основные локальные диффеоморфизмы, связанные с векторными полями, более непосредственно соответствуют физическим симметриям, но сами векторные поля чаще используются при классификации симметрий физической системы. Некоторые из наиболее важных векторных полей — это поля Киллинга, которые представляют собой пространственно-временные симметрии, сохраняющие основную метрическую структуру многообразия. Грубо говоря, поля Киллинга сохраняют расстояние между любыми двумя точками многообразия и часто называются изометриями.
Дискретное
Дискретной симметрией является симметрия, описывающая разрывные изменения в системе. Например, квадрат обладает дискретной симметрией вращения, поскольку только повороты на углы, кратные прямым углам, сохраняют исходный вид квадрата. Дискретные симметрии иногда включают в себя некий вид "перестановки", которые обычно называют отражениями или заменами. Обращение времени: Многие законы физики описывают реальные явления при изменении направления времени. Математически это представляется преобразованием, например, второй закон Ньютона остаётся справедливым, если в уравнении заменить на . Это можно проиллюстрировать, записав движение объекта, брошенного вертикально вверх (пренебрегая сопротивлением воздуха), а затем воспроизведя запись в обратном порядке. Объект будет следовать той же параболической траектории в воздухе, независимо от того, воспроизводится ли запись нормально или наоборот. Таким образом, положение симметрично относительно момента, когда объект достигает максимальной высоты. Пространственная инверсия: она описывается преобразованиями вида и указывает на свойство инвариантности системы при "инвертировании" координат. Иными словами, это симметрия между объектом и его зеркальным отражением. Отражение скольжения: оно представляется композицией сдвига и отражения. Эти симметрии встречаются в некоторых кристаллах и в некоторых плоских симметриях, известных как симметрии обоев.
Суперсимметрия
Тип симметрии, известный как суперсимметрия, используется в попытках добиться теоретического прогресса в Стандартной модели. Суперсимметрия основана на идее о существовании дополнительной физической симметрии, помимо тех, что уже разработаны в Стандартной модели, а именно симметрии между бозонами и фермионами. Суперсимметрия постулирует, что для каждого типа бозона существует фермионный суперпартнер, и наоборот. Суперсимметрия пока не получила экспериментального подтверждения: ни одна из известных частиц не обладает свойствами, необходимыми для того, чтобы быть суперпартнером какой-либо другой известной частицы. В настоящее время Большой адронный коллайдер готовится к запуску, который позволит проверить суперсимметрию.
Обобщенные симметрии
Обобщенные симметрии охватывают ряд недавно признанных обобщений концепции глобальной симметрии. К ним относятся симметрии более высокой формы, симметрии высшей группы, неинвертируемые симметрии и симметрии подсистем.
Математика физической симметрии
Преобразования, описывающие физические симметрии, обычно образуют математическую группу. Теория групп – важная область математики для физиков. Непрерывные симметрии математически описываются непрерывными группами (так называемыми группами Ли). Многие физические симметрии являются изометриями и определяются группами симметрии. Иногда этот термин используется для более общих типов симметрий. Множество всех собственных вращений (вокруг любой оси на любой угол) сферы образует группу Ли, называемую специальной ортогональной группой SO(3). (Число '3' относится к трехмерному пространству обычной сферы.) Таким образом, группа симметрии сферы, рассматривающая собственные вращения, – это SO(3). Любое вращение сохраняет расстояния на поверхности шара. Множество всех преобразований Лоренца образует группу, называемую группой Лоренца (которую можно обобщить до группы Пуанкаре). Дискретные группы описывают дискретные симметрии. Например, симметрии равностороннего треугольника характеризуются симметрической группой S.
Физическая теория, основанная на локальных симметриях, называется теорией калибровки, а симметрии, присущие такой теории, называются калибровочными симметриями. Калибровочные симметрии в Стандартной модели, используемой для описания трех фундаментальных взаимодействий, основаны на группе SU(3) × SU(2) × U(1). (Приблизительно говоря, симметрии группы SU(3) описывают сильное взаимодействие, группа SU(2) описывает слабое взаимодействие, а группа U(1) описывает электромагнитное взаимодействие.) Кроме того, симметричное редуцирование функционала энергии под действием группы и спонтанное нарушение симметрии преобразований симметричных групп, по-видимому, проясняют вопросы в физике частиц (например, объединение электромагнетизма и слабого взаимодействия в физической космологии).
Общие читатели
Глава 12 — мягкое введение в симметрию, инвариантность и законы сохранения.
Технические считыватели
Выступление на встрече Ассоциации философии науки 2002 года.