Введение
Когда линейная комбинация случайной величины с самой собой имеет то же распределение, в теории вероятностей стабильность случайной величины определяется как свойство, при котором линейная комбинация двух независимых копий этой величины имеет то же распределение, с точностью до параметров местоположения и масштаба. Распределения случайных величин, обладающих этим свойством, называются "стабильными распределениями". Результаты, полученные в теории вероятностей, показывают, что все возможные распределения, обладающие этим свойством, принадлежат к четырехпараметрическому семейству распределений. Статья о стабильном распределении описывает это семейство и некоторые свойства этих распределений. Значимость "стабильности" и семейства стабильных распределений вероятностей в теории вероятностей заключается в том, что они являются "притягивающими" для правильно нормированных сумм независимых и одинаково распределенных случайных величин. Важными частными случаями стабильных распределений являются нормальное распределение, распределение Коши и распределение Леви. Подробности см. в статье "Стабильное распределение".
In probability theory, the stability of a random variable is the property that a linear combination of two independent copies of the variable has the same distribution, up to location and scale parameters. The distributions of random variables having this property are said to be "stable distributions". Results available in probability theory show that all possible distributions having this property are members of a four parameter family of distributions. The article on the stable distribution describes this family together with some of the properties of these distributions. The importance in probability theory of "stability" and of the stable family of probability distributions is that they are "attractors" for properly normed sums of independent and identically distributed random variables. Important special cases of stable distributions are the normal distribution, the Cauchy distribution and the Lévy distribution. For details see stable distribution.
Определение
Существует несколько основных определений понятия стабильности. Некоторые из них основаны на суммировании случайных величин, а другие – на свойствах характеристических функций.
Стабильность в теории вероятностей
Существует ряд математических результатов, которые можно вывести для распределений, обладающих свойством устойчивости. То есть, рассматриваются все возможные семейства распределений, замкнутых относительно свёртки. Для удобства здесь будем называть эти распределения устойчивыми, не имея в виду конкретно распределение, описанное в статье под названием «устойчивое распределение», или говорить, что распределение устойчиво, если подразумевается, что оно обладает свойством устойчивости. Для одномерных устойчивых распределений можно получить следующие результаты. Устойчивые распределения всегда бесконечно делимы. Все устойчивые распределения абсолютно непрерывны. Все устойчивые распределения унимодальны.
Другие типы стабильности
Вышеописанная концепция стабильности основана на идее о том, что класс распределений замкнут относительно заданного набора операций над случайными величинами, где операция – это "суммирование" или "усреднение". Другие рассмотренные операции включают:
геометрическую стабильность: здесь операция заключается в вычислении суммы случайного числа случайных величин, где это число имеет геометрическое распределение. Соответствующим аналогом стабильного распределения в этом случае является геометрически стабильное распределение.
Макс-стабильность: здесь операция заключается в вычислении максимума из некоторого числа случайных величин. Соответствующим аналогом стабильного распределения в этом случае является обобщенное распределение экстремальных значений, а теория для этого случая рассматривается в рамках теории экстремальных значений. См. также постулат стабильности. Вариант этого случая, в котором вместо максимума вычисляется минимум, может быть получен простым расширением.
geometric stability: here the operation is to take the sum of a random number of random variables, where the number has a geometric distribution. The counterpart of the stable distribution in this case is the geometric stable distribution
Max stability: here the operation is to take the maximum of a number of random variables. The counterpart of the stable distribution in this case is the generalized extreme value distribution, and the theory for this case is dealt with as extreme value theory. See also the stability postulate. A version of this case in which the minimum is taken instead of the maximum is available by a simple extension.