Введение

Обобщение определенных интегралов на функции нескольких переменных

В математике (в частности, в многомерном исчислении) кратный интеграл — это определенный интеграл функции нескольких вещественных переменных, например, f(x, y) или f(x, y, z). Физическая (естественнонаучная) интерпретация: S — любая поверхность, V — любой объем и т.д. Включая зависимость от времени, положения и т.д. Интегралы функции двух переменных по области на (плоскости вещественных чисел) называются двойными интегралами, а интегралы функции трех переменных по области в (трехмерном вещественном пространстве) называются тройными интегралами. О кратных интегралах от функции одной переменной см. формулу Коши о повторном интегрировании.

Введение

Точно так же, как определенный интеграл положительной функции одной переменной представляет площадь области между графиком функции и осью x, двойной интеграл положительной функции двух переменных представляет объем области между поверхностью, заданной функцией (в трехмерном декартовом пространстве, где) и плоскостью, содержащей область ее определения. Поскольку понятие первообразной определено только для функций одной вещественной переменной, обычное определение неопределенного интеграла напрямую не переносится на кратные интегралы.

Свойства

Многократные интегралы обладают многими свойствами, общими для интегралов функций одной переменной (линейность, коммутативность, монотонность и так далее). Важным свойством многократных интегралов является то, что значение интеграла не зависит от порядка интегрирования при определенных условиях. Это свойство широко известно как теорема Фубини.

- ось

Если область D нормальна относительно оси y и f : D → ℝ — непрерывная функция, то α(y) и β(y) (обе определены на интервале) — две функции, определяющие D. Снова, по теореме Фубини:

.

Многократный неправильный интеграл

В случае неограниченных областей или функций, не ограниченных в окрестности границы области, необходимо вводить двойной несобственный интеграл или тройной несобственный интеграл.

Тройная интеграл

Тройной интеграл был продемонстрирован теоремой Фубини. Теорема Дирихле и теорема расширения Лиувилля для тройного интеграла.