Введение

Рациональное отображение — это вид частичной функции между алгебраическими многообразиями. В математике, в частности в области алгебраической геометрии, рациональная карта или рациональное отображение представляет собой вид частичной функции между алгебраическими многообразиями. В данной статье принято соглашение, что многообразия являются неприводимыми.

Формальное определение

Формально, рациональное отображение между двумя многообразиями — это класс эквивалентности пар, где является морфизмом многообразий с непустого открытого множества в , и две такие пары и считаются эквивалентными, если они совпадают на пересечении (это, в частности, тривиально верно, если пересечение пустое, но поскольку предполагается, что многообразие неприводимо, это невозможно). Доказательство того, что это определяет отношение эквивалентности, опирается на следующую лемму: если два морфизма многообразий равны на некотором непустом открытом множестве, то они равны. Отображение называется бирациональным, если существует рациональное отображение, являющееся его обратным, где композиция понимается в вышеуказанном смысле. Важность рациональных отображений для алгебраической геометрии заключается в связи между такими отображениями и отображениями между полями функций и . Даже поверхностный анализ определений выявляет сходство между определением рационального отображения и рациональной функции; фактически, рациональная функция — это просто рациональное отображение, область значений которого является проективной прямой. Композиция функций позволяет нам "отображать обратно" рациональные функции вдоль рационального отображения, так что одно рациональное отображение индуцирует гомоморфизм полей. В частности, центральное значение имеет следующая теорема: функтор из категории проективных многообразий с доминирующими рациональными отображениями (над фиксированным базовым полем, например) в категорию конечно порожденных расширений поля базового поля с обратным включением расширений в качестве морфизмов, который сопоставляет каждому многообразию его поле функций и каждому отображению — соответствующее отображение полей функций, является эквивалентностью категорий.

Рациональные карты проективных пространств

Существует рациональное отображение, задающее отношение. Поскольку точка не может иметь образа, это отображение является лишь рациональным, а не морфизмом многообразий. В более общем случае, существуют рациональные отображения, задающие для отправки кортежа из элементов в кортеж из элементов, отбрасывая последние координаты.

Включение открытых подвидов

На связном многообразии включение любого открытого подмногообразия является бирациональной эквивалентностью, поскольку у двух многообразий эквивалентные поля функций. То есть, любую рациональную функцию можно ограничить до рациональной функции, и наоборот, любая рациональная функция определяет класс бирациональной эквивалентности на . Превосходным примером этого явления является бирациональная эквивалентность и , следовательно, .

Покрытие пространств на открытых подмножествах

Покрытие пространств на открытых подмножествах многообразия дает множество примеров рациональных отображений, которые не являются бирациональными. Например, теорема Белого утверждает, что каждая алгебраическая кривая допускает отображение, ветвящееся в трех точках. Затем существует соответствующее накрывающее пространство, которое определяет доминирующее рациональное морфизм, не являющееся бирациональным. Другой класс примеров происходит из гиперэллиптических кривых, которые являются двойными накрытиями, ветвящимися в конечном числе точек. Еще один класс примеров получается, беря гиперповерхность и ограничивая рациональное отображение до нее. Это дает ветвящееся накрытие. Например, кубическая поверхность, заданная множеством нулей, имеет рациональное отображение в , отображающее . Это рациональное отображение можно выразить как расширение поля степени .

Разрешение сингулярности

Одним из канонических примеров бирационального отображения является разрешение особенностей. Над полем характеристики 0, каждое сингулярное многообразие имеет связанное несингулярное многообразие с бирациональным отображением. Это отображение обладает свойством быть изоморфизмом на гладкой части и иметь в качестве прообраза над каждой точкой нормальный делитель с нормальным пересечением. Например, кривая с узлом, такая как, бирациональна к, поскольку топологически это эллиптическая кривая с одной из окружностей стянутой в точку. Тогда бирациональное отображение задается нормализацией.

Бирациональная эквивалентность

Говорят, что два сорта бирационально эквивалентны, если между ними существует бирациональное отображение; эта теорема утверждает, что бирациональная эквивалентность сортов тождественна изоморфизму их функциональных полей как расширений базового поля. Это несколько более широкое понятие, чем изоморфизм сортов (который требует глобально определенного морфизма, удостоверяющего изоморфизм, а не просто рационального отображения), поскольку существуют сорта, которые бирационально эквивалентны, но не изоморфны. Классический пример – это бирациональная эквивалентность сорта, содержащегося в из множества проективных точек, таких что , но не изоморфность. Действительно, любые две прямые в пересекаются, но прямые в , заданные уравнениями и , не могут пересекаться, поскольку их пересечение имело бы все координаты равными нулю. Чтобы вычислить функциональное поле , мы переходим к аффинному подмножеству (что не меняет поле, что является следствием того факта, что рациональное отображение зависит только от своего поведения на любом открытом подмножестве своей области определения), в котором ; в проективном пространстве это означает, что мы можем взять , и, следовательно, отождествить это подмножество с аффинной плоскостью. Там кольцо координат определяется как

через отображение , а поле дробей последнего просто изоморфно полю , изоморфному функциональному полю . Обратите внимание, что мы ни разу не построили рациональное отображение, хотя, прослеживая доказательство теоремы, это можно сделать.