Введение

Основной волокнистый пучок
В математике, круговой расслоение — это волокнистое расслоение, в котором волокно является окружностью. Ориентированные круговые расслоения также известны как главные U(1)-расслоения, или, эквивалентно, как главные SO(2)-расслоения. В физике круговые расслоения являются естественной геометрической средой для электромагнетизма. Круговое расслоение является частным случаем сферического расслоения.

Как 3-многообразные

Круговые расслоения над поверхностями являются важным примером трехмерных многообразий. Более общий класс трехмерных многообразий – пространства волокон Сейферта, которые можно рассматривать как своего рода "сингулярное" круговое расслоение, или как круговое расслоение над двумерным орбифолдом.

Примеры

Фибрация Хопфа является примером нетривиального расслоения окружностью. Единичный касательный расслоение поверхности — еще один пример расслоения окружностью. Единичный касательный расслоение неориентируемой поверхности — это расслоение окружностью, которое не является главным расслоением. Только ориентируемые поверхности имеют главные единичные касательные расслоения. Другой способ построения расслоений окружностью — использование комплексного линейного расслоения и взятие ассоциированного расслоения сфер (окружностей в данном случае). Поскольку это расслоение имеет ориентацию, индуцированную из, мы имеем, что это главное расслоение. Более того, характеристические классы из теории Черна — Вейля для этого расслоения согласуются с характеристическими классами. Например, рассмотрим аналитизацию плоской комплексной кривой. Поскольку характеристические классы переходят нетривиально, мы имеем, что линейное расслоение, ассоциированное с пучком, имеет класс Черна.

Классификация

Классы изоморфизма главных расслоений над многообразием M находятся во взаимно однозначном соответствии с классами гомотопии отображений , где называется классифицирующим пространством для U(1). Отметим, что это бесконечномерное комплексное проективное пространство, и что это пример пространства Эйленберга — Маклейна . Такие расслоения классифицируются элементом второй целочисленной когомологической группы M, поскольку . Этот изоморфизм реализуется классом Эйлера; эквивалентно, это первый класс Черна гладкого комплексного линейного расслоения (по сути, потому что окружность гомотопически эквивалентна , комплексной плоскости с удаленной точкой; и, следовательно, комплексное линейное расслоение с удаленным нулевым сечением гомотопически эквивалентно окружному расслоению). Окружное расслоение является главным расслоением тогда и только тогда, когда соответствующее отображение гомотопно нулю, что верно тогда и только тогда, когда расслоение ориентируемо по волокнам. Таким образом, для более общего случая, когда окружное расслоение над M может быть не ориентируемым, классы изоморфизма находятся во взаимно однозначном соответствии с классами гомотопии отображений . Это следует из расширения групп, , где .

Комплексы Делинье

Вышеуказанная классификация применима только к пучкам окружностей в общем случае; соответствующая классификация для гладких пучков окружностей или, скажем, пучков окружностей с аффинной связностью требует более сложной теории когомологий. Результаты включают в себя то, что гладкие пучки окружностей классифицируются второй когомологией Делиня; пучки окружностей с аффинной связностью классифицируются по , а линейные пучки герб — по .